‹-- Назад

Векторное произведение

Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена.

        Определение 10.26   Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c, удовлетворяющий условию

1) $ \vert{\bf c}\vert=\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi}$ , где $ {\varphi}$  -- угол между a и b и, если $ \vert{\bf c}\vert\ne0$ , то еще двум условиям:

2) вектор c ортогонален векторам a и b;

3) из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).         

        Замечание 10.5   Угол между векторами в пространстве всегда удовлетворяет условию $ 0\leqslant {\varphi}\leqslant \pi$ . Таким образом, $ \sin{\varphi}\geqslant 0$ . Если $ {\bf a}=0$ или $ {\bf b}=0$ , то считается, что векторное произведение равно 0.         

Векторное произведение вектора a на вектор b обозначается $ {\bf a}\times{\bf b}$ или $ [{\bf a},{\bf b}]$ .

        Предложение 10.18   Векторное произведение антикоммутативно, то есть

$\displaystyle {\bf a}\times{\bf b}=-{\bf b}\times{\bf a}.$

В другой формулировке: если изменить порядок сомножителей, то векторное произведение меняет направление на противоположное.

        Доказательство.     Пусть $ {\bf c}={\bf a}\times {\bf b}$ , $ {\bf d}={\bf b}\times {\bf a}$ . Нужно показать, что $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ . Из условия 1 следует, что $ {\vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert}$ . Если $ {\vert{\bf c}\vert=0}$ , то очевидно, что $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ . Если $ {\vert{\bf c}\vert\ne0}$ , то векторы c и d -- коллинеарны, так как оба лежат на прямой, ортогональной плоскости векторов a и b. Таким образом, остаются только две возможности: $ {{\bf c}={\bf d}}$ или $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ . Пусть вектор $ {{\bf d}={\bf b}\times {\bf a}}$ совпадает с вектором $ {{\bf c}={\bf a}\times {\bf b}}$ . Тогда в силу условия 3 из конца одного и того же вектора и поворот от a к b, и поворот от b к a по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки, что невозможно. Следовательно, $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ .     

        Предложение 10.19   Векторное произведение $ {\bf a}\times{\bf b}$ равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b -- коллинеарные.

        Доказательство.     Из определения векторного произведения получим, что $ {{\bf a}\times {\bf b}=0}$ тогда и только тогда, когда $ {{\bf a}=0}$ , или $ {{\bf b}=0}$ , или $ {\sin {\varphi}=0}$ . Из последнего равенства получим, что $ {{\varphi}=0}$ или $ {{\varphi}=\pi}$ , в этом случае векторы a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю.     

        Предложение 10.20   Для любых векторов a и b и любого числа $ {\lambda}$ выполняется равенство $ {({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ .

        Доказательство.     Если $ {\lambda}=0$ , то утверждение очевидно. Если векторы a и b -- коллинеарные, то векторы $ {\lambda}{\bf a}$ и b -- тоже коллинеарные, и поэтому обе части доказываемого равенства равны нулю.

Пусть $ {\lambda}>0$ , a, b -- неколлинеарные, $ {{\bf c}=({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}}$ , $ {{\bf d}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ . Тогда углы, образованные векторами a и b и векторами $ {\lambda}{\bf a}$ и b, равны. Следовательно,

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin...
...a}\times {\bf b}\vert={\lambda}\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

то есть $ \vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Оба вектора c и d перпендикулярны плоскости векторов a и b и направлены одинаково, так как равны углы между сомножителями. Следовательно, $ {{\bf c}={\bf d}}$ .

Пусть $ {\lambda}<0$ . Тогда векторы $ {\lambda}{\bf a},{\bf b}$ образуют угол $ \psi, \psi=\pi-{\varphi}$ , рис. 10.25.




Рис.10.25.


Вычисляем модули:

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin...
...\varphi})=
\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

$\displaystyle \vert{\bf d}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

то есть $ \vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Векторы $ {\bf a}\times {\bf b}, {\bf c}$ и d перпендикулярны плоскости векторов a и b. Векторы $ {\bf a}\times{\bf b}$ и c имеют противоположные направления, так как поворот от a и от $ {\lambda}{\bf a}$ к вектору b происходят в противоположных направлениях. Но вектор d имеет направление, противоположное вектору $ {\bf a}\times{\bf b}$ (рис. 10.25) и, следовательно, одинаковое с вектором c. Получили, что $ {\bf c}={\bf d}$ .     

        Предложение 10.21   Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности, то есть $ {{\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\times {\bf b}+{\bf a}\times {\bf c}}$ .

         Доказательство это свойства будет проведено позже.

С помощью векторного произведения можно найти площади параллелограмма и треугольника.

        Предложение 10.22   Площадь параллеллограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения,

$\displaystyle S_{пар}=\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$

Площадь треугольника со сторонами a, b вычисляется по формуле

$\displaystyle S_{\triangle}=\frac 12\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$

Доказательство естественным образом вытекает из условия 1 в определении векторного произведения.

Отметим еще одну особенность векторного произведения, отличающую его от операции умножения чисел.

        Предложение 10.23   Векторное произведение не является ассоциативным, то есть существуют такие векторы a, b, c, что $ {({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .

        Доказательство.     Пусть a и b -- любые неколлинеарные векторы, $ {{\bf c}={\bf b}}$ . Тогда вектор $ {{\bf a}\times {\bf b}\ne0}$ , кроме того, этот вектор ортогонален плоскости векторов a и b. Таким образом, векторы $ {\bf a}\times{\bf b}$ и c -- неколлинеарные, поэтому $ {({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne0}$ . С другой стороны, $ {{\bf b}\times {\bf c}={\bf b}\times {\bf b}=0}$ по  предложению 10.19. Поэтому $ {{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})=0}$ . Получили, что $ {({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .