‹-- Назад

Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

В разделе "Матрица линейного преобразования" мы выяснили, что каждое линейное преобразование $ n$ -мерного линейного пространства в фиксированном базисе задается матрицей. Если меняется базис, то, как правило, меняется и матрица. Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного преобразования имеет наиболее простой вид. В общем случае выбрать такой базис довольно сложно. Это связано с нахождением нормальной жордановой формы матрицы, изложение которого можно найти в более обстоятельных учебниках по линейной алгебре, например, в [4], [5]. Следующая теорема отвечает на этот вопрос в более простом случае.

        Теорема 19.2   Пусть $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование $ n$ -мерного линейного пространства. Матрица линейного преобразования имеет диагональный вид

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda}_1&0&\ldots&0\\ 0&{\lambda}_2&\ldots&0\\ \hdotsfor{4}\\ 
 0&0&\ldots&{\lambda}_n\end{array}\right)$ (19.5)

тогда и только тогда, когда векторы базиса являются собственнными векторами преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующими собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2,
\ldots,\,{\lambda}_n}$ .

        Доказательство.     Пусть преобразование $ \mathcal{A}$ имеет $ n$ линейно независимых собственных векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , соответствующих собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ . Так как векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ линейно независимы, то они образуют базис. Найдем матрицу преобразования $ \mathcal{A}$ в этом базисе. Ее первый столбец является координатным столбцом вектора $ {\mathcal{A}(e_1)}$ . Так как $ {e_1}$  -- собственный вектор, то

$\displaystyle \mathcal{A}(e_1)={\lambda}_1e_1={\lambda}_1e_1+0e_2+\ldots+0e_n.$

Координатный столбец этого вектора $ \left(\begin{array}{c}{\lambda}_1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ . Второй столбец матрицы $ A$ является координатным столбцом вектора $ {\mathcal{A}
(e_2)}$ . Так как $ {e_2}$  -- собственный вектор, то

$\displaystyle \mathcal{A}(e_2)={\lambda}_2e_2=0e_1+{\lambda}_2e_2+\ldots+0e_n.$

Координатный столбец этого вектора $ \left(\begin{array}{c}0\\ {\lambda}_2\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ . Вычисляя аналогично остальные столбцы, получаем, что матрица линейного преобразования $ \mathcal{A}$ в базисе $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ имеет вид  (19.5). Первая часть теоремы доказана.

Пусть в некотором базисе $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ матрица линейного преобразования имеет вид (19.5). Найдем образ вектора $ e_1$ . Этот вектор имеет координатный столбец $ \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ , его образ имеет координатный столбец

$\displaystyle A\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)=
\le...
...}\right)={\lambda}_1\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right).$

Следовательно, $ {\lambda}_1$  -- собственное число преобразования $ \mathcal{A}$ , а $ e_1$  -- соответствущий ему собственный вектор. Аналогично находим, что любой базисный вектор $ e_i$ является собственным вектором преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующим собственному числу $ {\lambda}_i$ .     

        Следствие 19.2   Если у матрицы $ A$ порядка $ n$ существует набор из $ n$ линейно независимых собственнных векторов, соответствующих собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ , то матрица $ A$ подобна диагональной матрице с числами $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ на диагонали.

        Теорема 19.3   Пусть собственные векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ преобразования $ \mathcal{A}$ соответствуют собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_k}$ , среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ является линейно независимой.

        Доказательство.     Воспользуемся методом математической индукции по числу векторов. Если $ {k=1}$ , то утверждение теоремы следует из того, что собственный вектор -- ненулевой.

Пусть утверждение верно для системы векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_{k-1}}$ . Составим линейную комбинацию векторов $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_k}$ и приравняем ее к нулю

$\displaystyle \mu_1e_1+\mu_2e_2+\ldots+\mu_ke_k=0.$ (19.6)

К обеим частям применим преобразование $ \mathcal{A}$

$\displaystyle \mathcal{A}(\mu_1e_1+\mu_2e_2+\ldots+\mu_ke_k)=0.$

По определению линейного преобразования получим

$\displaystyle \mu_1\mathcal{A}(e_1)+\mu_2\mathcal{A}(e_2)+\ldots+\mu_k\mathcal{A}(e_k)=0.$

Так как $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$  -- собственные векторы, то

$\displaystyle \mu_1{\lambda}_1 e_1+\mu_2{\lambda}_2 e_2+\ldots+\mu_k{\lambda}_ke_k=0.$

Умножим равенство (19.6) на $ {\lambda}_k$ и вычтем из последнего равенства. Получим

$\displaystyle \mu_1({\lambda}_1-{\lambda}_k) e_1+\mu_2({\lambda}_2-{\lambda}_k) e_2+\ldots+\mu_{k-1}({\lambda}_{k-1}
-{\lambda}_k)e_k=0.$

Так как по предположению индукции векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_{k-1}}$ линейно независимы, то

$\displaystyle \mu_1({\lambda}_1-{\lambda}_k)=\mu_2({\lambda}_2-{\lambda}_k)=\ldots=\mu_{k-1}({\lambda}_{k-1}-{\lambda}_k)=0.$

По условию $ {{\lambda}_1-{\lambda}_k\ne0,\;{\lambda}_2-{\lambda}_k\ne0,\ldots,\;{\lambda}_{k-1}-{\lambda}_k\ne0}$ , следовательно, $ {\mu_1=\mu_2=\ldots=\mu_{k-1}=0}$ . Подставим эти значения в (19.6), получим $ {\mu_k=0}$ . Получили, что из равенства (19.6) следует $ {\mu_1=\mu_2=\ldots=\mu_k=0}$ , то есть векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ линейно независимы.     

        Следствие 19.3   Если матрица $ A$ порядка $ n$ имеет $ n$ попарно различных собственных чисел, то она подобна диагональной матрице.