‹-- Назад

Скалярное произведение

Кроме операций сложения и умножения на число на множестве векторов определены еще несколько операций. Одна из них -- скалярное произведение, позволяющее находить длины векторов и углы между векторами по координатам векторов.

        Определение 10.25   Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное $ \vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}$ , где $ {\varphi}$  -- угол между векторами a и b.         

        Замечание 10.4   Если один из векторов нулевой, то угол $ {\varphi}$ не определен. Скалярное произведение в этом случае считается равным нулю.         

Скалярное произведение обозначается $ {\bf a}\cdot{\bf b}$ , или $ {\bf a}{\bf b}$ , или $ ({\bf a},{\bf b})$ . Скалярное произведение вектора на себя, aa, обозначается $ {\bf a}^2$ . Скалярное произведение обладает следующими свойствами, которые мы сформулируем в виде теоремы.

        Теорема 10.2   Для любых векторов a и b выполнены следующие соотношения:
1) $ {\bf a}{\bf b}={\bf b}{\bf a}$ , свойство коммутативности;
2) $ {\bf a}({\bf b}+{\bf c})={\bf a}{\bf b}+{\bf a}{\bf c}$ , свойство дистрибутивности;
3) $ ({\lambda}{\bf a}){\bf b}={\lambda}({\bf a}{\bf b})$ ;
4) $ {\bf a}^2>0$ при $ {\bf a}\ne0$ ;
5) $ {\bf a}^2=\vert{\bf a}\vert^2$ ;
6) Если $ {\varphi}$  -- угол между векторами a и b, то $ \cos{\varphi}=\dfrac{{\bf a}{\bf b}}
{\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert}$ ;
7) $ {\bf a}{\bf b}=\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}{\bf b}$ , если $ {\bf a}\ne0$ ;
8) $ {\bf a}{\bf b}=0$ тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны.

        Доказательство.     Свойства 1,4,5,6 очевидным образом следуют из определения скалярного произведения. Свойство 8 получим, если вспомним, что нулевой вектор считается ортогональным любому вектору. Свойство 7 получим из определения скалярного произведения, использовав  предложение 10.13, в силу которого $ { Пр_{{\bf a}}{\bf b}=\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}}$ .

Докажем свойство 2. В силу свойства 7, при $ {\bf a}\ne0$ , имеем $ {{\bf a}({\bf b}+{\bf c})=\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}({\bf b}+{\bf c})}$ . По  предложению 10.14 $ { Пр_{{\bf a}}
({\bf b}+{\bf c})= Пр_{{\bf a}}{\bf b}+ Пр_{{\bf a}}{\bf c}}$ . Поэтому

$\displaystyle {\bf a}({\bf b}+{\bf c})=\vert{\bf a}\vert\left(
Пр_{{\bf a}}{\b...
...}{\bf b}+\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}{\bf c}=
{\bf a}{\bf b}+{\bf a}{\bf c}.$

Если $ {\bf a}=0$ , то свойство 2 очевидно.

Докажем свойство 3. При $ {\bf b}=0$ свойство очевидно. Пусть $ {\bf b}\ne0$ . Тогда

$\displaystyle ({\lambda}{\bf a}){\bf b}={\bf b}({\lambda}{\bf a})=\vert{\bf b}\vert Пр_{{\bf b}}({\lambda}{\bf a}).$

В силу  предложения 10.15 $ { Пр_{{\bf b}}({\lambda}{\bf a})={\lambda}Пр_{{\bf b}}{\bf a}}$ . Поэтому

$\displaystyle ({\lambda}{\bf a}){\bf b}=\vert{\bf b}\vert{\lambda}Пр_{{\bf b}}{...
..._{{\bf b}}{\bf a}\right)=
{\lambda}({\bf b}{\bf a})={\lambda}({\bf a}{\bf b}).$

Итак, все свойства доказаны.     

Получим формулу для вычисления скалярного произведения по координатам сомножителей в ортонормированном базисе.

        Теорема 10.3   Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами $ {{\bf a}=({\alpha}_1,
{\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3})$ , то

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3.$ (10.1)

        Доказательство.     По условию $ {\bf a}={\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alpha}_3{\bf k}$ , $ {\bf b}={\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\bf j}+
{\beta}_3{\bf k}$ . В силу свойств 1 - 3 ( теорема 10.2) скалярного произведения получим

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\bf a}({\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\bf j}+{\beta}_3{\bf k})={\beta}_1{\bf a}{\bf i}+{\beta}_2{\bf a}{\bf j}+{\beta}_3{\bf a}{\bf k}.$ (10.2)

Используя те же свойства, находим $ {\bf a}{\bf i}=({\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alpha}_3{\bf k}){\bf i}=
{\alpha}_1{\bf i}^2+{\alpha}_2{\bf j}{\bf i}+{\alpha}_3{\bf k}{\bf i}$ . В силу свойства 5, находим $ {{\bf i}^2=1}$ , а по свойству 8 получим $ {\bf j}{\bf i}={\bf k}{\bf i}=0$ . Таким образом, $ {{\bf a}{\bf i}={\alpha}_1}$ . Аналогично находим, что $ {\bf a}{\bf j}={\alpha}_2$ , $ {\bf a}{\bf k}={\alpha}_3$ . Подставив полученные результаты в формулу (10.2), получим требуемую формулу (10.1).     

Так как $ {\vert{\bf a}\vert^2={\bf a}^2}$ , то из  теоремы 10.3 вытекает, что если $ {{\bf a}=({\alpha}_1,
{\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , то

$\displaystyle \vert{\bf a}\vert=\sqrt{{\alpha}_1^2+{\alpha}_2^2+{\alpha}_3^2}$ (10.3)

Пусть в пространстве заданы точки $ A(x_1,y_1,z_1)$ и $ B(x_2,y_2,z_2)$ . Тогда $ {\overrightarrow {AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)}$ . Длина отрезка $ AB$ , то есть расстояние между точками $ A$ и $ B$ , будет равна $ \vert\overrightarrow {AB}\vert$ , и по формуле (10.3) получим

$\displaystyle AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$ (10.4)

Читатель без труда перенесет полученные результаты этого раздела на случай двумерного векторного пространства. Формулы (10.1), (10.3), (10.4) останутся справедливыми, только из них нужно исключить третью координату.

Разберем два примера на использование скалярного произведения.

Задача. Даны вершины треугольника: $ A(2;-1;3)$ , $ B(1;1;1)$ , $ C(0;0;5)$ . Найдите длину стороны $ AB$ и $ \angle ABC$ .

Решение. $ \overrightarrow {BA}=(1;-2;2)$ , $ \overrightarrow {BC}=(-1;-1;4)$ , $ AB=\vert\overrightarrow {AB}\vert=
\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3$ .
$ \cos\angle ABC=\dfrac{\overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}}{\bigl\vert\overrightarrow {BA}\bigr\vert
\cdot\bigl\vert\overrightarrow {BC}\bigr\vert}$ , $ \quad
\overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}=1\cdot(-1)+(-2)(-1)+2\cdot 4=9$ ,
$ \vert\overrightarrow {BC}\vert=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18}=3\sqrt 2$ , $ \quad
\cos\angle ABC=\frac 1{\sqrt 2}$ , $ \quad \angle ABC=45^{\circ}$ .

Ответ: $ AB=3$ , $ \quad \angle ABC=45^{\circ}$ .     

Задача. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах $ {\bf a}=2{\bf m}+{\bf n}$ и $ {\bf b}={\bf m}-2{\bf n}$ , где m и n -- единичные векторы, угол между которыми равен $ 60^{\circ}$ .

Решение. В этой задаче не заданы координаты векторов в ортонормированном базисе $ {\bf i},{\bf j},{\bf k}$ . Поэтому воспользоваться формулами  (10.1), (10.3) так просто не получится.

Сделав схематический рисунок (рис. 10.24),




Рис.10.24.


убеждаемся, что вектор $ {\bf d}_1$ , соответствующий одной диагонали параллелограмма, находится по формуле $ {{\bf d}_1={\bf a}+{\bf b}}$ , а другой -- $ {{\bf d}_2={\bf a}-{\bf b}}$ . Отсюда $ {{\bf d}_1=3{\bf m}-{\bf n}}$ и $ {{\bf d}_2={\bf m}+3{\bf n}}$ . В силу свойства 5 ( теорема 10.3) скалярного произведения получим

$\displaystyle \vert{\bf d}_1\vert^2=
{\bf d}_1^2=(3{\bf m}-{\bf n})(3{\bf m}-{\bf n})=9{\bf m}^2-3{\bf m}{\bf n}-3{\bf m}{\bf n}+{\bf n}^2=$

$\displaystyle =9\vert{\bf m}\vert^2-6{\bf m}{\bf n}+
\vert{\bf n}\vert^2=9-6\cdot 1\cdot 1\cos 60^{\circ}+1=7.$

Аналогично, $ {\bf d}_2=({\bf m}+3{\bf n})({\bf m}+3{\bf n})={\bf m}^2+6{\bf m}{\bf n}+9{\bf n}^2=
1+6\cdot 1\cdot 1\cos 60^{\circ}+9=13$ .

Ответ: 7 и 13.