‹-- Назад

Определение и примеры

Рассмотрим линейное пространство $ L$ и преобразование $ \mathcal{A}$ этого пространства, то есть закон, по которому каждому вектору $ x$ из $ L$ соответствует вектор $ x'$ из того же пространства. Вектор $ x'$ называется образом вектора $ x$ и обозначается $ {\mathcal{A}(x)}$ , а вектор $ x$ называется прообразом вектора $ x'$ .

        Определение 19.1   Преобразование $ \mathcal{A}$ линейного пространства $ L$ называется линейным, если для любых векторов $ x$ и $ y$ и любого числа $ {\alpha}$ выполнены равенства

$\displaystyle \mathcal{A}(x+y)=\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y),\quad \mathcal{A}({\alpha}x)={\alpha}\mathcal{A}(x),$ (19.1)

то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора.         

        Замечание 19.1   В этой главе с каждым линейным преобразованием будет связана матрица, которую мы будем обозначать той же буквой, что и само преобразование. Чтобы их различать, мы для букв, обозначающих преобразование, будем использовать так называемый "каллиграфический" шрифт.         

Линейное преобразование пространства $ L$ называют также линейным отображением из $ L$ в $ L$ или линейным оператором из $ L$ в $ L$ .

Исходя из равенств (19.1) легко проверить, что

$\displaystyle \mathcal{A}\left(\sum_{i=1}^k{\alpha}x_i\right)=\sum_{i=1}^k{\alpha}\mathcal{A}(x_i),$

то есть образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации их образов.

Рассмотрим несколько примеров линейных преобразований.

        Пример 19.1   Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, то есть множество векторов плоскости. Пусть $ {\mathcal{A}(x)=2x}$ . Это преобразование действует так: каждый вектор оно переводит в вектор такого же направления, но в два раза большей длины. Если считать, что все векторы имеют начало в начале координат, то преобразование $ \mathcal{A}$ можно представить как растяжение плоскости в два раза (рис. 19.1).

Рис.19.1.Преобразование растяжения


Проверим выполнение равенств (19.1)

$\displaystyle \mathcal{A}(x+y)=2(x+y)=2x+2y=\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y),$

$\displaystyle \mathcal{A}({\alpha}x)=2({\alpha}x)=2{\alpha}x={\alpha}(2x)={\alpha}\mathcal{A}(x).$

Равенства (19.1) выполнены, следовательно, преобразование $ \mathcal{A}$ является линейным.         

        Пример 19.2   Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ \mathcal{A}$  -- поворот вектора по часовой стрелке на угол $ {\varphi}$ (рис. 19.2).

Рис.19.2.Преобразование поворота


Покажем, что это -- линейное преобразование.

Пусть $ x$ и $ y$  -- два вектора. Тогда $ {x+y}$  -- это диагональ параллелограмма со стронами $ x$ , $ y$ (рис. 19.3).

Рис.19.3.Образ суммы векторов


Если параллелограмм повернуть как единое целое на угол $ {\varphi}$ , то его стороны станут векторами $ \mathcal{A}(x)$ и $ \mathcal{A}(y)$ , диагональ будет вектором $ {\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y)}$ . С другой стороны, диагональ тоже повернулась на угол $ {\varphi}$ и поэтому является вектором $ {\mathcal{A}(x+y)}$ . Следовательно, $ {\mathcal{A}(x+y)=
\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y)}$ , первое из условий (19.1) выполнено.

Пусть $ {\alpha}$ -- число. Из рисунка 19.4 очевидно, что $ {\mathcal{A}({\alpha}x)={\alpha}\mathcal{A}(x)}$ .

Рис.19.4.Образ вектора, умноженного на число


Следовательно, преобразование $ \mathcal{A}$  -- линейное.         



Упражнение19.1.1. Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, переводящее каждый вектор $ x$ в вектор $ x'$ симметричный исходному относительно прямой $ l$ (рис. 19.5). Другими словами, $ x'$ является зеркальным отражением вектора $ x$ в прямой $ l$ .

Рис.19.5.Преобразование отражения


Докажите, что $ \mathcal{A}$ является линейным преобразованием.



Упражнение19.1.2. Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, переводящее каждый вектор $ x$ в его проекцию на прямую $ l$ (рис. 19.6).

Рис.19.6.Преобразование проектирования


Докажите, что $ \mathcal{A}$ является линейным преобразованием.

        Пример 19.3   Пусть $ L$  -- пространство всех многочленов, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, которое переводит вектор из $ L$ , то есть многочлен, в производную этого многочлена, которая естественно является многочленом, то есть вектором из $ L$ . Пусть $ {x\in L}$ , то есть $ {x=a_0+a_1t+a_2t^2+\ldots+a_kt^k}$ . Тогда

$\displaystyle \mathcal{A}(x)=x'=a_1+2a_2t+\ldots+ka_kt^{k-1}.$

Например, если $ {x=1-3t+t^2+2t^3}$ , то $ {\mathcal{A}(x)=-3+2t+6t^2}$ . Покажем, что преобразование $ \mathcal{A}$ является линейным.

Пусть $ x,y\in L$ , $ {\alpha}$  -- число. Тогда в силу свойства линейности производной получим

$\displaystyle \mathcal{A}(x+y)=(x+y)'=x'+y'=\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y).$

Аналогично,

$\displaystyle \mathcal{A}({\alpha}x)=({\alpha}x)'={\alpha}x'={\alpha}\mathcal{A}(x).$

Следовательно, $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование.         

        Пример 19.4   Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, Выберем в этом пространстве базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Тогда у любого вектора $ x$ есть его координатный столбец $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ . Пусть $ A$  -- квадратная матрица порядка $ n$ . Определим преобразование $ \mathcal{A}$ следующим образом: $ {x'=\mathcal{A}(x)}$ является вектором, координатный столбец которого равен $ {{\alpha}'=A{\alpha}}$ (справа стоит произведение матрицы $ A$ на столбец $ {\alpha}$ ). Покажем, что преобразование $ \mathcal{A}$  -- линейное.

Пусть $ x$ и $ y$ имеют координатные столбцы $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ соответственно, а их образы $ \mathcal{A}(x)$ и $ \mathcal{A}(y)$  -- координатные столбцы $ {\alpha}'$ , и $ {\beta}'$ . Тогда

$\displaystyle {\alpha}'=A{\alpha},\quad {\beta}'=A{\beta},\quad {\alpha}'+{\beta}'=A{\alpha}+A{\beta}=A({\alpha}+{\beta}).$

Но выражение в последнем равенстве справа является координатным столбцом образа суммы векторов $ {x+y}$ . Следовательно, $ {\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y)=\mathcal{A}(x+y)}$ .

Пусть $ {\lambda}$  -- произвольное число. Тогда координатный столбец вектора $ {\lambda}x$ равен $ {\lambda}{\alpha}$ , координатный столбец образа вектора

$\displaystyle A({\lambda}x)={\lambda}A{\alpha}={\lambda}{\alpha}',$

то есть равен числу $ {\lambda}$ , умноженному на координатный столбец образа вектора $ x$ . Поэтому $ {\mathcal{A}({\lambda}x)={\lambda}\mathcal{A}(x)}$ . Тем самым мы доказали, что преобразование $ \mathcal{A}$ является линейным.         

Очевидно, что примерами линейных преобразований могут служить тождественное преобразование, то есть преобразование, переводящее каждый вектор в себя, $ {\mathcal{A}(x)=x}$ , и нулевое преобразование, переводящее каждый вектор в нуль, $ {\mathcal{A}(x)=0}$ .

Легко проверяется, что для любого линейного преобразования $ \mathcal{A}$ образ нуля равен нулю, $ {\mathcal{A}(0)=0}$ . Действительно, в силу второго из равенств (19.1)

$\displaystyle \mathcal{A}(0)=\mathcal{A}(0\cdot x)=0\cdot\mathcal{A}(x)=0.$