‹-- Назад

Изменение координат вектора при изменении базиса

Пусть в $ n$ -мерном линейном пространстве $ L$ выбран базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис $ {e_1',\,e_2',\ldots,\,e_n'}$ , который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный вектор $ a$ из $ L$ . Его координатный столбец в старом базисе обозначим $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ , а в новом -- $ {{\alpha}'=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1'\\ {\alpha}_2'\\ \vdots\\ {\alpha}_n'\end{array}\right)}$ . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

\begin{displaymath}\begin{array}{c}
e_1'={\sigma}_{11}e_1+{\sigma}_{21}e_2+\ldo...
...a}_{1n}e_1+{\sigma}_{2n}e_2+\ldots+{\sigma}_{nn}e_n.\end{array}\end{displaymath}

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

$\displaystyle S=\left(\begin{array}{cccc}
{\sigma}_{11}&{\sigma}_{12}&\ldots&{...
...sfor{4}\\
{\sigma}_{n1}&{\sigma}_{n2}&\ldots&{\sigma}_{nn}\end{array}\right).$

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

        Замечание 18.1   Матрица перехода всегда невырождена, то есть $ {\vert S\vert\ne0}$ .         

        Предложение 18.5   Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой

$\displaystyle {\alpha}=S{\alpha}',$ (18.1)

где справа стоит произведение матрицы перехода $ S$ на матрицу-столбец.

        Доказательство.     Так как $ {\alpha}'$  -- координатный столбец вектора $ a$ в новом базисе, то

$\displaystyle a=\sum_{j=1}^n{\alpha}_j'e_j'.$

Заменив векторы $ e_j'$ их разложениями по старому базису, получим

$\displaystyle a=\sum_{j=1}^n{\alpha}_j'({\sigma}_{1j}e_1+{\sigma}_{2j}e_2+\ldot...
..._{i=1}^n{\sigma}_{ij}e_i=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n
{\alpha}_j'{\sigma}_{ij}e_i.$

В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования

$\displaystyle a=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{\alpha}_j'{\sigma}_{ij}e_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n
{\sigma}_{ij}{\alpha}_j'\right)e_i.$

Здесь мы получили разложение вектора $ a$ по старому базису, причем координата вектора с номером $ i$ равна $ \displaystyle \sum_{j=1}^n{\sigma}_{ij}{\alpha}_j'$ . Элемент с номером $ i$ столбца $ S{\alpha}'$ будет иметь такой же вид. Следовательно, формула  (18.1) доказана.     

        Пример 18.4   Пусть $ {L=\mathbb{R}^3}$ , то есть $ L$  -- трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис

$\displaystyle {\bf e}_1={\bf i}+{\bf j}+2{\bf k},\quad {\bf e}_2=2{\bf i}-{\bf j},\quad {\bf e}_3=-{\bf i}+{\bf j}+{\bf k}.$

Возьмем вектор $ {\bf x}=6{\bf i}-{\bf j}+3{\bf k}$ . Найдем его координаты в новом базисе.

Выпишем матрицу перехода, ее столбцы -- это координаты новых базисных векторов

$\displaystyle S=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 1&-1&1\\ 2&0&1\end{array}\right).$

Пусть $ {\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)$  -- координатный столбец вектора $ {\bf x}$ в новом базисе. Тогда

$\displaystyle \left(\begin{array}{r}6\\ -1\\ 3\end{array}\right)=S{\beta},$ (18.2)

откуда

$\displaystyle {\beta}=S^{-1}\left(\begin{array}{r}6\\ -1\\ 3\end{array}\right).$

Найдем матрицу $ S^{-1}$ по формуле (14.14). Находим определитель

$\displaystyle \vert S\vert=\left\vert\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 1&-1&1\\ 2&0&1\end{array}\right\vert=-1.$

Находим алгебраические дополнения

\begin{displaymath}\begin{array}{l}S_{11}=-1,\quad S_{12}=1,\quad S_{13}=2,\quad...
...3}=4,\quad S_{31}=1,\quad S_{32}=-2,\quad S_{33}=-3.\end{array}\end{displaymath}

Следовательно,

$\displaystyle S^{-1}=\frac1{-1}\left(\begin{array}{rrr}-1&-2&1\\ 1&3&-2\\ 2&4&-...
...\right)=
\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ -1&-3&2\\ -2&-4&3\end{array}\right).$

Находим координаты вектора

$\displaystyle {\beta}=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ -1&-3&2\\ -2&-4&3\end{ar...
...\ -1\\ 3\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{r}1\\ 3\\ 1\end{array}\right).$

Таким образом, новые координаты вектора $ {\bf x}$ : $ {{\beta}_1=1}$ , $ {{\beta}_2=3}$ , $ {{\beta}_3=1}$ , $ {{\bf x}={\bf e}_1+3{\bf e}_2+{\bf e}_3}$ .

Тот же самый результат можно было получить, записав формулу (18.2) в виде системы уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}6={\beta}_1+2{\beta}_2-{\beta}_3,\\ -1={\beta}_1-{\beta}_2+{\beta}_3,\\
3=2{\beta}_1+{\beta}_3.\end{array}\right.$

Решив эту систему, например, методом Гаусса, найдем новые координаты $ {\beta}_1$ , $ {\beta}_2$ , $ {\beta}_3$ .