‹-- Назад

Координаты векторов

        Определение 18.4   Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, вещественное или комплексное, $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$  -- базис. Тогда произвольный вектор $ a$ из $ L$ представим в виде линейной комбинации векторов базиса:

$\displaystyle a={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n.$

Числа $ {{\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\ldots,\,{\alpha}_n}$ называются координатами вектора $ a$ в базисе $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Столбец $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ из координат вектора называется координатным столбцом вектора $ a$ .         

        Предложение 18.3   Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно.

        Доказательство.     Предположим противное. Пусть $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$  -- базис, в котором у вектора $ a$ есть два различных набора координат:

$\displaystyle a={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n,\quad
a={\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+{\beta}_ne_n.$

Тогда

$\displaystyle a-a=({\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n)-({\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+
{\beta}_ne_n),$

то есть

$\displaystyle 0=({\alpha}_1-{\beta}_1)e_1+({\alpha}_2-{\beta}_2)e_2+\ldots+({\alpha}_n-{\beta}_n)e_n.$

Так как наборы координат различны, то хотя бы один из коэффициентов справа отличен от нуля. Следовательно, векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$  -- линейно зависимы, что противоречит определению базиса. Полученное противоречие означает, что предположение о наличии двух различных наборов координат неверно.     

        Предложение 18.4   Пусть в $ n$ -мерном пространстве $ L$ задан базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Тогда координатный столбец суммы векторов равен сумме координатных столбцов слагаемых, координатный столбец произведения вектора на число равен координатному столбцу вектора, умноженному на это число.

        Доказательство.     Пусть векторы $ a$ и $ b$ имеют координатные столбцы $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ и $ {{\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)}$ соответственно. Отсюда следует, что

$\displaystyle a={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n,\quad
b={\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+{\beta}_ne_n.$

Поэтому

\begin{multline*}
a+b=({\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n)+({\bet...
...e_1+({\alpha}_2+{\beta}_2)e_2+\ldots+({\alpha}_n+{\beta}_n)e_n.
\end{multline*}

Это равенство означает, что координатный столбец вектора $ a+b$ имеет вид $ \left(\begin{array}{c}{\alpha}_1+{\beta}_1\\ {\alpha}_2+{\beta}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n+{\beta}_n\end{array}\right)$ . Первая часть предложения доказана. Доказательство второй части предоставляем читателю.     

Из последнего предложения следует, что как только в $ n$ -мерном пространстве зафиксирован базис, каждый вектор можно заменить его координатным столбцом, и операциям сложения и умножения на число соответствуют такие же операции над их координатными столбцами. Таким образом, каждое $ n$ -мерное пространство является, с точки зрения алгебры, копией пространства $ \mathbb{R}^n$ в вещественном случае, а в комплексном -- копией $ \mathbb{C}^n$ .