‹-- Назад

Базис и размерность пространства

Так как в линейном пространстве векторы можно складывать и умножать на числа, то из них можно составлять линейные комбинации и можно ввести понятия линейной зависимости и линейной независимости системы векторов так же, как это было сделано в разделе "Линейная зависимость векторов". На случай произвольного линейного пространства определения 10.14 и 10.15 переносятся дословно. Предложения 10.6, 10.7, 10.8 переносятся дословно вместе с доказательствами.

На основе линейной зависимости в линейном пространстве вводится определение базиса. Оно почти дословно совпадает с определением 10.16.

        Определение 18.2   Базисом линейного пространства $ L$ называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства $ L$ является линейной комбинацией этих векторов.         

В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.

        Пример 18.2   Пусть $ L$ -- линейное пространство всех многочленов с веществеными коэффициентами. Покажем, что в этом пространстве базис не существует.

Предположим противное. Пусть векторы $ a_1,\,a_2,\ldots,\,a_k$ образуют в этом пространстве базис.

Каждый вектор пространства $ L$  -- это многочлен. Пусть

$\displaystyle a_1={\alpha}_{10}+{\alpha}_{11}t+\ldots+{\alpha}_{1m_1}t^{m_1},$    
$\displaystyle a_2={\alpha}_{20}+{\alpha}_{21}t+\ldots+{\alpha}_{2m_2}t^{m_2},$    
$\displaystyle \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$    
$\displaystyle a_k={\alpha}_{k0}+{\alpha}_{k1}t+\ldots+{\alpha}_{km_k}t^{m_k}.$    

Из степеней многочленов $ m_1,\,m_2,\ldots,\,m_k$ выберем наибольшую и обозначим ее буквой $ m$ . Возьмем многочлен $ {a=0+0t+\ldots+0t^m+t^{m+1}}$ . Так как $ {a\in L}$ и векторы $ {a_1,\,a_2,\ldots,\,a_k}$ образуют базис, то $ {a={\gamma}_1 a_1+\ldots+{\gamma}_ka_k}$ , где $ {{\gamma}_1,\,{\gamma}_2,\ldots,\,{\gamma}_k}$  -- вещественные числа. Следовательно, $ a$ является суммой многочленов степеней меньших, чем $ {m+1}$ , и поэтому его степень должна быть меньше, чем $ {m+1}$ . С другой стороны, по определению, многочлен $ a$ имеет степень $ {m+1}$ . Получили противоречие. Значит, предположение о существовании базиса неверно.         

        Теорема 18.1   В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.     

Доказательство теоремы мы приводить не будем. Желающие могут найти его в любом учебнике по линейной алгебре, например в [1].

        Определение 18.3   Линейное пространство $ L$ , в котором существует базис, состоящий из $ n$ векторов, называется $ n$ -мерным линейным или векторным пространством. Число $ n$ называется размерностью пространства и обозначается $ {\dim L}$ . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.         

Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами. Как показано в  примере 18.2 в этом пространстве базис отсутствует.

        Предложение 18.1   Пространство столбцов из $ n$ элементов, являющихся вещественными числами, имеет рамерность $ n$ .

        Доказательство.     Возьмем систему векторов

$\displaystyle e_1=\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right),\q...
...ght),\ldots
,\,e_n=\left(\begin{array}{r}0\\ 0\\ \vdots\\ 1\end{array}\right).$

Покажем, что эта система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:

$\displaystyle {\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n=0.$

Преобразуем левую часть:

$\displaystyle {\alpha}_1\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\rig...
...begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right).$

Следовательно,

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right),$

откуда $ {\alpha}_1=0$ , $ {\alpha}_2=0,\ldots$ , $ {\alpha}_n=0$ . Итак, система векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$  -- линейно независима.

Пусть $ b$ -- произвольный вектор пространства, $ {b=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\
{\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right).}$ Очевидно, что

$\displaystyle {\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+{\beta}_ne_n=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)=
b.$

Следовательно, вектор $ b$ является линейной комбинацией векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Тем самым доказано, что векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ образуют базис в пространстве столбцов из $ n$ элементов. Размерность пространства равна числу векторов в базисе. Следовательно, пространство -- $ n$ -мерное.     

Пространство столбцов из $ n$ элементов, являющихся вещественными числами, обозначается $ \mathbb{R}^n$ .

        Предложение 18.2   Пространство столбцов из $ n$ элементов, являющихся комплексными числами, имеет размерность $ n$ .     

Доказательство такое же, как и в предыдущем предложении. Это пространство обозначается $ \mathbb{C}^n$ .

        Пример 18.3   Пространство решений однородной системы линейных уравнений $ {Ax=0}$ имеет базис из $ {n-r}$ решений, где $ n$  -- число неизвестных, а $ r$  -- ранг матрицы $ A$ . Этим базисом служит фундаментальная система решений (см.  определение 15.5 и  теорему 15.3).