‹-- Назад

Корни многочленов

В разделе "Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами" мы видели, что в поле комплексных чисел любой квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами имеет корни, этих корней два, если дискриминант отличен от нуля, и один в противном случае. Теперь, когда мы имеем возможность извлекать корни из комплексных чисел, мы можем найти корни квадратного трехчлена с комплексными коэффициентами, то есть решить уравнение

$\displaystyle ax^2+bx+c=0,$

где $ a$ , $ b$ , $ c$  -- комплексные числа, $ {a\ne0}$ .

Выполняя те же действия, что и в разделе "Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами", приходим к уравнению

$\displaystyle \left(x-\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}=0.$

Обозначив $ z=x-\frac b{2a}$ , $ {d=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$ , получим уравнение $ {z^n=d}$ , где $ {n=2}$ . Такое уравнение мы умеем решать. В результате получатся два корня, если $ {d\ne0}$ , и один, если $ {d=0}$ . Так как $ {d=0}$ тогда и только тогда, когда дискриминант $ {D=b^2-4ac}$ равен нулю, то количество корней определяется тем же условием: равен дискриминант нулю или нет. Кроме того, заметим, что если $ {h^2=D}$ , то $ {\left(\dfrac h{2a}\right)^2=\dfrac D{4a^2}}$ и $ {\left(-\dfrac h{2a}\right)^2=\dfrac D{4a^2}}$ . Поэтому корни уравнения $ {ax^2+bx+c=0}$ можно записать в виде

$\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a},\quad x_2=\frac{-b-\sqrt D}{2a},$ (17.16)

где $ \sqrt D$ означает одно из решений (любое!) уравнения $ {y^2=D}$ . Отметим, что формулы (17.5) также можно записать в виде (17.16), так как при вещественном $ {D<0}$ выполнено $ {\sqrt D=\sqrt{\vert D\vert}\,i}$ .

        Пример 17.10   Решите уравнение $ {(1+i)x^2+(1+3i)x-8+6i=0}$ .

Решение. Находим дискриминант:

$\displaystyle D=(1+3i)^2-4(1+i)(-8+6i)=48+14i.$

Решим уравнение $ y^2=D$ . Для этого находим $ \vert D\vert=50$ . Пусть $ {{\varphi}=\arg D}$ . Тогда $ {\cos{\varphi}=\frac{48}{50}=\frac{24}{25}}$ . Достаточно найти только одно решение. Второе получим умножением его на $ (-1)$ . По формуле (17.15)

$\displaystyle \sqrt D=5\sqrt2\left(\cos\frac{{\varphi}}2+i\sin\frac{{\varphi}}2\right).$

По формулам половинного аргумента с учетом того, что $ {0<{\varphi}<\frac{\pi}2}$ , получим

$\displaystyle \cos\frac{{\varphi}}2=\sqrt{\frac{1+\cos{\varphi}}2}=\sqrt{\frac{1+\frac{24}{25}}2}=
\frac7{5\sqrt2},$

$\displaystyle \sin\frac{{\varphi}}2=\sqrt{\frac{1-\cos{\varphi}}2}=\sqrt{\frac{1-\frac{24}{25}}2}=
\frac1{5\sqrt2}.$

Таким образом, $ {\sqrt D=7+i}$ .

По формулам (17.16)

$\displaystyle x_1=\frac{-1-3i+7+i}{2(1+i)}=\frac{3-i}{1+i}=1-2i,$    
$\displaystyle x_2=\frac{-1-3i-7-i}{2(1+i)}=\frac{-4-2i}{1+i}=-3+i.$    

Ответ: $ x_1=1-2i$ , $ x_2=-3+i$ .         

Оказывается, что в поле комплексных чисел корни всегда существуют не только у квадратного трехчлена, но и у любого многочлена.

        Теорема 17.1   Любой многочлен ненулевой степени с коэффициентами из поля комплексных чисел имеет в этом поле хотя бы один корень.    

Данная теорема по традиции называется основной теоремой алгебры. Доказательство ее достаточно сложное и поэтому здесь оно не приводится.

Интересно выяснить, сколько корней имеет многочлен степени $ n$ . Мы уже знаем, что если $ {n=1}$ , то корень один, если $ {n=2}$ , то, как учили в школе, корней два. Кроме того, мы уже выяснили, что многочлен $ {z^n+c}$ имеет ровно $ n$ различных корней, если $ {c\ne0}$ .

        Теорема 17.2   Для любого многочлена ненулевой степени в поле комплексных чисел справедливо разложение на множители:

$\displaystyle a_0+a_1z+\ldots+a_nz^n=a_n(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_n),\quad a_n\ne0.$ (17.17)

    

Доказательство пропускаем. Читатель может найти его в [5].

Очевидно, что в указанном разложении числа $ z_1$ , $ z_2$ ,..., $ z_n$ являются корнями многочлена и других корней у него быть не может. Однако среди чисел $ {z_1,\,z_2,\ldots,\,z_n}$ могут быть и одинаковые. Поэтому корней может быть меньше, чем $ n$ . Число одинаковых скобок в разложении (17.17) называется кратностью соответствующего корня. Например, если

$\displaystyle a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4=a_4(z-i)^2(z+1-2i)(z+5),$

то $ i$  -- корень кратности 2, $ -1+2i$ и $ -5$  -- корни кратности 1 или, иначе, простые корни.

Из предыдущей теоремы легко получить теорему, дающую ответ на вопрос о числе корней многочлена.

        Теорема 17.3   В поле комплексных чисел любой многочлен ненулевой степени $ n$ имеет ровно $ n$ корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.     

По вопросу практического нахождения корней стоит отметить следующее. Для нахождения корней многочленов третьей и четвертой степеней существуют формулы, позволяющие выразить корни многочлена через его коэффициенты. Для многочлена третьей степени -- это формула Кардано. Нахождение корней многочлена четвертой степени сводится к нахождению корней многочлена третьей степени методом, принадлежащим Феррари. Для многочленов выше четвертой степени доказано, что их корни нельзя выразить через их коэффициенты с помощью радикалов.

Однако, даже для многочленов третьей и четвертой степени, как правило, корни находят без использования указанных выше формул, так как те дают очень громоздкие выражения. Обычно корни находят приближенно, с помощью различных вычислительных алгоритмов (см. главу 9).