‹-- Назад

Извлечение корня из комплексного числа

Заголовок этого раздела является не совсем точным. Дело в том, что корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя. Он всегда имеет столько значений, какова его степень. Поэтому в данном разделе мы будем говорить о решении уравнения

$\displaystyle z^n=w,$ (17.14)

где неизвестным служит $ z$ , а $ w$  -- известное комплексное число. Но поскольку в школе решение этого уравнения записывалось в виде $ {z=\sqrt[n]
w}$ , то, не слишком соблюдая математическую строгость, можно говорить, что мы будем извлекать корень $ n$ -ой степени из комплексного числа $ w$ . Итак, решаем уравнение (17.14).

Если $ {w=0}$ , то $ {z=0}$ . Пусть $ {w\ne0}$ . Запишем число $ w$ в тригонометрической форме: $ {w=\rho(\cos\psi+i\sin\psi)}$ . Здесь $ \rho$ и $ \psi$  -- известные величины. Запишем неизвестное число $ z$ в тригонометрической форме: $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . Здесь $ r$ и $ {\varphi}$  -- неизвестны. По формуле Муавра

$\displaystyle z^n=r^n(\cos n{\varphi}+i\sin n{\varphi}).$

Таким образом,

$\displaystyle r^n(\cos n{\varphi}+i\sin n{\varphi})=\rho(\cos\psi+i\sin\psi).$

Если два комплексных числа равны, то их модули должны быть равны. Поэтому $ {r^n=\rho}$ . В этом соотношении $ r$ и $ \rho$  -- положительные числа, следовательно $ {r=\sqrt[n]{\rho}}$ , где справа стоит обычный арифметический корень из положительного числа.

Если два комплексных числа равны, то аргументы у них могут различаться только на величину, кратную $ {2\pi}$ . Поэтому $ {n{\varphi}=\psi+2\pi k}$ , $ {k\in\mathbb{Z}}$ . Отсюда находим, что

$\displaystyle {\varphi}=\frac{\psi+2\pi k}n.$

В итоге получили:

$\displaystyle z=\sqrt[n]{\rho}\left(\cos\frac{\psi+2\pi k}n+i\sin\frac{\psi+2\pi k}n
 \right),\quad k=0,1,\ldots,n-1.$ (17.15)

Значения $ k$ , отличные от указанных в этой формуле, дадут те же значения $ z$ , которые можно получить при $ {k=0,1,\ldots,n-1.}$

        Пример 17.9   Найдите корни уравнения $ {z^4=-1}$ .

Решение. Запишем число $ -1$ в тригонометрической форме:

$\displaystyle -1=1\cdot (\cos\pi+i\sin\pi),$

то есть $ {\rho=1}$ , $ {\psi=\pi}$ . Тогда

$\displaystyle z=\sqrt[4]1\left(\cos\frac{\pi+2\pi k}4=i\sin\frac{\pi+2\pi k}4\right),
k=0,1,2,3.$

При $ {k=0}$ получим:

$\displaystyle z_1=\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4=\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2.$

При $ {k=1}$ получим:

$\displaystyle z_2=\cos\frac{3\pi}4+i\sin\frac{3\pi}4=-\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2.$

При $ {k=2}$ получим:

$\displaystyle z_3=\cos\frac{5\pi}4+i\sin\frac{5\pi}4=-\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2.$

При $ {k=3}$ получим:

$\displaystyle z_4=\cos\frac{7\pi}4+i\sin\frac{7\pi}4=\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2.$

Ответ: $ {z_1=\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2}$ , $ {z_2=-\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2}$ , $ {z_3=-\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2}$ , $ {z_4=\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2}$ .