‹-- Назад

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть $ {z=a+bi}$ . Положим $ {r=\vert z\vert}$ , $ {{\varphi}=\arg z}$ . Из рисунка 17.4 очевидно, что

$\displaystyle a=r\cos{\varphi},\quad b=r\sin {\varphi}.$

Тогда $ {z=r\cos{\varphi}+(r\sin{\varphi})i}$ . Это выражение запишем в виде

$\displaystyle z=r(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}).$ (17.8)

Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде $ {a+bi}$ называют иногда алгебраической формой комплексного числа.

Отметим, что тригонометрическая форма -- это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу. Поэтому вместо формулы (17.8) можно было бы просто записывать пару $ r,{\varphi}$ , но запись (17.8) принята в силу традиции.

        Замечание 17.3   При записи числа в тригонометрической форме НЕЛЬЗЯ вычислять значения $ \cos{\varphi}$ и $ \sin{\varphi}$ , иначе мы потеряем явное указание аргумента $ z$ и снова вернемся к алгебраической форме. Кроме того, если угол $ {\varphi}$ получился отрицательным, то знак "$ -$ " НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.         

        Пример 17.5   Запишите в тригонометрической форме числа $ {z_1=2+2i}$ , $ {z_2=-i}$ , $ {z_3=\sqrt3-i}$ , $ {z_4=5}$ .

Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:

$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2,\quad \arg z_1=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac22=\frac{\pi}4,$

$\displaystyle z_1=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right);$

$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{0^2+(-1)^2},\quad \arg z_2=-\frac{\pi}2,$

$\displaystyle z_2=\cos\left(-\frac{\pi}2\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}2\right);$

$\displaystyle \vert z_3\vert=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2,\quad \arg z_3=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-1}{\sqrt3}=
-\frac{\pi}6,$

$\displaystyle z_3=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}6\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}6\right)
\right);$

$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{5^2+0^2}=5,\quad \arg z_4=0,$

$\displaystyle z_4=5(\cos0+i\sin0).$

        

Пусть $ {z_1=r_1(\cos{\varphi}_1+i\sin{\varphi}_1)}$ , $ {z_2=r_2(\cos{\varphi}_2+i\sin{\varphi}_2)}$ . Найдем произведение $ {z_1z_2}$ :

\begin{multline*}
z_1z_2=r_1(\cos{\varphi}_1+i\sin{\varphi}_1)r_2(\cos{\varphi}...
...\varphi}_1\cos{\varphi}_2+\cos{\varphi}_1\sin{\varphi}_2)\big).
\end{multline*}

Заметим, что во внутренних скобках стоят формулы косинуса и синуса суммы аргументов. Поэтому

$\displaystyle z_1z_2=r_1r_2\big(\cos({\varphi}_1+{\varphi}_2)+i\sin({\varphi}_1+{\varphi}_2)\big).$

Последняя запись является тригонометрической формой комплексного числа $ z_1z_2$ . Значит,

$\displaystyle \vert z_1z_2\vert=r_1r_2=\vert z_1\vert\vert z_2\vert,$

$\displaystyle \arg(z_1z_2)={\varphi}_1+{\varphi}_2=\arg z_1+\arg z_2,$

иными словами, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Аналогично можно доказать, что

$\displaystyle \left\vert\frac{z_1}{z_2}\right\vert=\frac{\vert z_1\vert}{\vert z_2\vert},\quad
\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2,$

иными словами, при делении комплексных чисел их модули делятся один на другой, а аргументы вычитаются.

Несложно проверить, что если $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ , то

$\displaystyle \ovl z=r\big(\cos(-{\varphi})+i\sin(-{\varphi})\big).$

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень $ n$ , где $ n$  -- натуральное число.

Пусть $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . Тогда

$\displaystyle z^2=z\cdot z=r^2\big(\cos({\varphi}+{\varphi})+i\sin({\varphi}+{\varphi})\big),$

то есть

$\displaystyle z^2=r^2(\cos2{\varphi}+i\sin2{\varphi}).$

Далее находим

$\displaystyle z^3=(z^2)\cdot z=r^3\big(\cos(2{\varphi}+{\varphi})+i\sin(2{\varphi}+{\varphi})\big),$

то есть

$\displaystyle z^3=r^3(\cos3{\varphi}+i\sin3{\varphi}).$

Продолжая умножения дальше, придем к формуле

$\displaystyle z^n=r^n(\cos n{\varphi}+i\sin n{\varphi}).$ (17.9)

Эта формула называется формулой Муавра.

        Пример 17.6   Вычислите $ z^6$ , если $ {z=1-i}$ .

Решение. Находим тригонометрическую форму числа $ z$ :

$\displaystyle r=\vert z\vert=\sqrt2,\quad {\varphi}=\arg z=-\frac{\pi}4,\quad z...
...rt2\left(\cos
\left(-\frac{\pi}4\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}4\right)\right).$

По формуле Муавра

$\displaystyle z^6=(\sqrt2)^6\left(\cos\left(-\frac{6\pi}4\right)+i\sin\left(-
...
...8\left(\cos\left(-\frac{3\pi}2\right)+i\sin\left(-
\frac{3\pi}2\right)\right).$

Переходим к алгебраической форме, вычисляя косинус и синус: $ {z^6=8i}$ .

Ответ: $ z^6=8i$ .