‹-- Назад

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат $ xOy$ . Каждому комплексному числу $ {z=a+bi}$ можно сопоставить точку с координатами $ {(a,b)}$ , и наоборот, каждой точке с координатами $ {(c,d)}$ можно сопоставить комплексное число $ {w=c+di}$ . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплекные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

        Пример 17.3   Изобразим на комплексной плоскости числа $ {z_1=2+i}$ , $ {z_2=3i}$ , $ {z_3=
-3+2i}$ , $ {z_4=-1-i}$ , $ {z_5=-3}$ :

Рис.17.1.Изображение комплексных чисел точками плоскости


        

Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке $ O$ , а именно, комплексное число $ {z=a+bi}$ изображается радиус-вектором точки с координатами $ {(a,b)}$ . В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:

Рис.17.2.Изображение комплексных чисел векторами


Отметим, что изображением суммы двух комплексных чисел $ z$ , $ w$ является вектор, равный сумме векторов, изображающих числа $ z$ и $ w$ . Иными словами, при сложении комплексных чисел складываются и векторы, их изображающие (рис. 17.3).

Рис.17.3.Изображение суммы комплексных чисел


Пусть комплексное число $ {z=a+bi}$ изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа $ z$ и обозначается $ \vert z\vert$ . Из рисунка 17.4 очевидно, что

$\displaystyle \vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}.$ (17.6)

Рис.17.4.Модуль и аргумент


Угол, образованный радиус-вектором числа $ z$ с осью $ Ox$ , называется аргументом числа $ z$ и обозначается $ \arg z$ . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного $ 2\pi$ . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до $ 2\pi$ или в диапазоне от $ -\pi$ до $ \pi$ . Кроме того у числа $ {z=0}$ аргумент не определен.

На рис. 17.4 $ \arg z$ равен углу $ {\varphi}$ . Из того же рисунка очевидно, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=\frac ba.$

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:

$\displaystyle \arg z=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba$   или$\displaystyle \quad \arg z=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba,$ (17.7)

причем первая формула действует, если изображение числа $ z$ находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если $ {a=0}$ , то комплексное число изображается вектором на оси $ Oy$ и его аргумент равен $ \frac{\pi}2$ или $ \frac{3\pi}2$ .

Получим еще одну полезную формулу. Пусть $ {z=a+bi}$ . Тогда $ {\ovl z=a-bi}$ ,

$\displaystyle z\ovl z=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2.$

С учетом формулы (17.6) получим

$\displaystyle z\ovl z=\vert z\vert^2$

или

$\displaystyle \vert z\vert=\sqrt{z\ovl z}.$

        Пример 17.4   Найдите модуль и аргумент комплексных чисел: $ {z_1=-1+i}$ , $ {z_2=4}$ , $ {z_3=-\frac12-\frac{\sqrt3}2}i$ , $ {z_4=5i}$ , $ {z_5=-2-3i}$ .

Решение. Запишем числа со строгим указанием действительной и мнимой части:

$\displaystyle z_1=-1+1i,\quad z_2=4+0\cdot i,\quad z_3=-\frac12+\left(-\frac{\sqrt3}2\right)i,$

$\displaystyle z_4=0+5i,\quad z_5=-2+(-3)i.$

Тогда по формулам (17.6) и (17.7) находим:

$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2,\quad \arg z_1=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac1{-1}=\pi-\frac{\pi}4=\frac{3\pi}4;$

$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{4^2+0^2}=4,\quad \arg z_2=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac04=0;$

\begin{multline*}
\vert z_3\vert=\sqrt{\left(-\frac12\right)^2+\left(-\frac{\sq...
...left(-\frac12\right)\right)=\\
=\pi+\frac{\pi}3=\frac{4\pi}3;
\end{multline*}

$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{0^2+5^2}=5,\quad \arg z_4=\frac{\pi}2;$

$\displaystyle \vert z_5\vert=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13},\quad
\arg z_5=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-3}{-2}=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits 1.5.$

В последнем случае можно вычислить с помощью калькулятора $ {\mathop{\rm arctg}\nolimits 1.5}$ и записать $ {\arg z_5\approx 4.1244}$ .