‹-- Назад

Построение поля комплексных чисел

Из курса школьной математики известно, что любое уравнение $ {ax+b=0}$ имет решение при $ {a\ne0}$ . С другой стороны, квадратное уравнение не всегда имеет решение. Например, решения не имеет уравнение $ {x^2+1=0}$ . Возникает вопрос, нельзя ли сделать так, чтобы любое квадратное уравнение имело решение?

Предположим, что уравнение $ {x^2+1=0}$ имет решение. Число (абстрактный элемент, не принадлежащий полю вещественных чисел), которое является решением, обозначим буквой $ i$ , то есть $ {i^2=-1}$ . Мы должны иметь возможность умножать это число на любое вещественное число. Значит, должны появиться числа вида $ bi$ , где $ b$  -- вещественное число. Для них должна быть возможность сложения с любым вещественным числом. Поэтому должны появиться числа вида $ {a+bi}$ .

        Определение 17.1   Числа вида $ a+bi$ , где $ a$ и $ b$  -- вещественные числа, называются комплексными числами.         

Посмотрим, какие действия арифметики можно производить с комплексными числами. Сложение чисел должно удовлетворять обычным правилам, поэтому:

$\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.$ (17.1)

При вычислении произведения скобки раскроем привычным способом:

$\displaystyle (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=
ac+(bc+ad)i+bdi^2.$

Так как $ i^2=-1$ , то получим

$\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.$ (17.2)

Итак, результаты сложения и умножения комплексных чисел снова оказались комплексными числами. Операцию вычитания определить не сложно:

$\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.$ (17.3)

Рассмотрим операцию деления. Учтем, что при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число дробь не меняется:

$\displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=
\frac{ac+bci-adi-bdi^2}{c^2-d^2i^2}.$

Так как $ i^2=-1$ , то

$\displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+
 \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i.$ (17.4)

Результат деления двух комплексных чисел оказывается снова комплексным числом. Как видно из полученной формулы, деление нельзя выполнить лишь в том случае, когда $ {c=d=0}$ , но в этом случае делитель $ {c+di}$ тоже равен нулю. Следовательно, невозможно лишь деление на нуль, что соответствует обычным правилам действий с числами.

Итак, мы вроде бы расширили множество вещественных чисел. Но есть в этом построении один существенный пробел. Мы предположили, что есть такое число $ i$ , что $ {i^2=-1}$ . А, может быть, его на самом деле нет?2 Чтобы исправить это упущение, используем для построения комплексных чисел уже существующее множество.

Пусть $ \mathcal{P}$  -- множество пар вещественных чисел: $ {\mathcal{P}=\{(a,b)\vert a,b\in\mathbb{R}\}}$ . На этом множестве определим операции

  1. сложения:

    $\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);$

  2. вычитания:

    $\displaystyle (a,b)-(c,d)=(a-c,b-d);$

  3. умножения:

    $\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad);$

  4. деления:

    $\displaystyle \frac{(a,b)}{(c,d)}=\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2},\frac{bc-ad}{c^2+d^2}
\right).$

Очевидно, что комплексное число, как оно было определено раньше, -- просто другая форма записи пары вещественных чисел $ (a,b)$ , где вместо запятой стоит "+", а второй элемент пары выделяется умножением на букву $ i$ . В новой форме записи вещественные числа -- это пары $ {(a,0)}$ , числу $ i$ соответствует пара $ {(0,1)}$ , сложение, вычитание, умножение и деление пар чисел и комплексных чисел происходят по одинаковым правилам. Таким образом, комплексные числа стали реально существующим множеством.

Однако в математике, в силу традиции, используется запись комплексного числа $ {a+bi}$ , введенная в начале раздела3. Причем принято считать, что

$\displaystyle a+0\cdot i=a,\quad 0+bi=bi,\quad0+0\cdot i=0,\quad1\cdot i=i.$

Можно проверить, что комплексные числа образуют поле. В нем обратным элементом к комплексному числу $ {a+bi}$ служит результат деления 1 на $ {a+bi}$ :

$\displaystyle \frac1{a+bi}=\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a-bi}{a^2-b^2i^2}=
\frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac a{a^2+b^2}+\frac{-b}{a^2+b^2}i.$

Это поле называется полем комплексных чисел и обозначается $ \mathbb{C}$ .

Число $ i$ называется мнимой единицей, числа $ bi$  -- мнимыми числами. Если $ {z=a+bi}$ , то число $ a$ называется вещественной частью комплексного числа и обозначается $ \mathop{\rm Re}\nolimits z$ , число $ b$ называется мнимой частью и обозначается $ \mathop{\rm Im}\nolimits z$ . Число $ {a-bi}$ называется сопряженным числу $ z$ и обозначается $ \ovl z$ , то есть $ {\ovl z=\overline{a+bi}=a-bi}$ .

        Замечание 17.1   В электротехнике, где буква $ i$ обозначает ток, мнимую единицу обозначают буквой $ j$ .         

Если операции сложения, вычитания и умножения комплексных чисел соответствуют обычным правилам раскрытия скобок, то для выполнения деления нужно или запомнить формулу (17.4), или, что проще, каждый раз при выполнении деления умножать числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю.

        Пример 17.1   Пусть $ {z_1=2-3i}$ , $ {z_2=1+4i}$ . Тогда:

$\displaystyle z_1+z_2=(2-3i)+(1+4i)=3+i,$

$\displaystyle z_1-z_2=(2-3i)-(1+4i)=1-7i,$

$\displaystyle z_1z_2=(2-3i)(1+4i)=2-3i+8i-12i^2=2+5i+12=14+5i,$

$\displaystyle \frac{z_2}{z_1}=\frac{z_2\ovl z_1}{z_1\ovl z_1}=\frac{(1+4i)(2+3i...
...c{2+8i+3i+12i^2}{4-9i^2}=
=\frac{2+11i-12}{4+9}=-\frac{10}{13}+\frac{11}{13}i.$

Вычислим еще $ \dfrac 1i$ :

$\displaystyle \frac1i=\frac{1(-i)}{i(-i)}=\frac{-i}1=-i.$