‹-- Назад

Кольца

В этом разделе мы будем предполагать, что на множестве заданы две различные операции. Одну из них мы назовем "сложением" и будем обозначать знаком "+", а другую будем называть "умножением" и записывать в виде $ a\cdot b$ или $ ab$ .

        Определение 16.2   Непустое множество $ \mathcal{K}$ , на котором заданы две операции: сложение и умножение, будем называть кольцом, если выполнены следующие требования:
  1. по отношению к операции сложения множество $ \mathcal{K}$ является абелевой группой;

  2. для любых $ a,\,b,\,c$ из $ \mathcal{K}$ выполнено $ a(bc)=(ab)c$ (ассоциативность умножения);
  3. для любых $ a,\,b,\,c$ из $ \mathcal{K}$ выполнено $ (a+b)c=ac+bc$ , $ a(b+c)=ab+ac$ (дистрибутивность умножения);
        

Если умножение является коммутативной операцией, то кольцо называется коммутативным. Примерами коммутативных колец служат:

  1. множество целых чисел;
  2. множество вещественных чисел;
  3. множество многочленов;
  4. множество функций, непрерывных на отрезке $ [a;b]$ .

Некоммутативным кольцом является множество квадратных матриц порядка $ n$ с обычными операциями сложениия и умножения матриц.

Рассмотрим пример кольца, содержащего конечное число элементов.

        Пример 16.5   Пусть $ \mathcal{K}$ -- множество, содержащее $ n$ элементов. Чтобы не вводить дополнительные обозначения, будем считать, что эти элементы являются числами 0, 1, 2,..., $ n-1$ .

Обозначим $ {\rm mod}\,(k,n)$ , при $ k\geqslant 0$ , остаток от деления числа $ k$ на число $ n$ . Операцию сложения на множестве $ \mathcal{K}$ определим следующим образом: для любых $ a$ , $ b$ из $ \mathcal{K}$

$\displaystyle a+b={\rm mod}\,(a+b,n),$

где в левой части стоит сложение на множестве $ \mathcal{K}$ , а в правой части под знаком $ ''{\rm mod}\,''$ стоит обычное сложение чисел.

Если взять $ n=5$ , то по новому правилу сложения получим: $ {1+2=3}$ , $ {2+3=0}$ (число 5 делится на 5, остаток равен 0), $ {4+4=3}$ (число 8 при делении на 5 дает в остатке 3).

Операцию умножения на множестве $ \mathcal{K}$ определим аналогично:

$\displaystyle a\cdot b={\rm mod}\,(ab,n),$

где в левой части стоит умножение на множестве $ \mathcal{K}$ , а в правой части, под знаком $ ''{\rm mod}\,''$ стоит обычное произведение чисел.

Если, как и раньше, взять $ {n=5}$ , то по новому правилу умножения получим: $ {2\cdot 2=4}$ , $ {2\cdot 3=1}$ (число 6 делится на 5 с остатком 1), $ {4\cdot 3=2}$ (число 12 делится на 5 с остатком 2).

Можно показать, что множество $ \mathcal{K}$ с введенными таким образом операциями является коммутативным кольцом. Обозначается оно обычно $ \mathbb{Z}_n$ .

Если $ n$ не является простым числом, то в кольце $ \mathbb{Z}_n$ есть делители нуля. Например, в $ \mathbb{Z}_6$ выполнено $ {3\cdot4=0}$ , так как число 12 делится на 6.         

Если в примере 16.1, указанную там операцию назвать сложением и обозначить знаком "+", а умножение определить так:

$\displaystyle aa=a,\quad ab=ba=a,\quad bb=b,$

то получим кольцо $ \mathbb{Z}_2$ . Элемент $ a$ соответствует нулю, а элемент $ b$ соответствует единице.

Исходя из определения кольца, можно доказать, что в нем выполняются привычные свойства умножения и сложения, то есть

$\displaystyle a\cdot 0=0,\quad a(b-c)=ab-ac,\quad a(-b)=-ab$

и т. п.