‹-- Назад

Группы

        Определение 16.1   Группой называется непустое множество $ \mathfrak{G}$ , на котором задана некоторая операция, обладающая следующими свойствами:
  1. для любых $ \mathfrak{a},\,\mathfrak{b},\,\mathfrak{c}\in\mathfrak{G}$ выполнено

    $\displaystyle (\mathfrak{a}\propto\mathfrak{b})\propto\mathfrak{c}=\mathfrak{a}\propto(\mathfrak{b}\propto\mathfrak{c})
$

    (свойство ассоциативности);
  2. существует такой элемент $ \mathfrak{e}$ , $ \mathfrak{e}\in \mathfrak{G}$ , что для любого элемента $ \mathfrak{a}$ , $ \mathfrak{a}\in \mathfrak{G}$ , выполнено

    $\displaystyle \mathfrak{a}\propto\mathfrak{e}=\mathfrak{a}$

    (существование единицы или нуля);
  3. для любого элемента $ \mathfrak{a}$ , $ \mathfrak{a}\in \mathfrak{G}$ , существует такой элемент $ \tilde\mathfrak{a}$ , $ \tilde\mathfrak{a}\in\mathfrak{G}$ , что

    $\displaystyle \mathfrak{a}\propto\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}$

    (существование обратного элемента).
        

        Пример 16.2   Пусть $ \mathfrak{G}$  -- множество целых чисел. В качестве операции $ \propto$ возьмем операцию сложения чисел. Тогда требования к операции записываются так:
  1. $ (\mathfrak{a}+\mathfrak{b})+\mathfrak{c}=\mathfrak{a}+(\mathfrak{b}+\mathfrak{c})$ ;
  2. существует такое число $ \mathfrak{e}$ , что для любого числа $ \mathfrak{a}$ выполнено $ {\mathfrak{a}+\mathfrak{e}=\mathfrak{a}}$ ;
  3. для любого числа $ \mathfrak{a}$ существует такое число $ \tilde\mathfrak{a}$ , что $ {\mathfrak{a}+\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}}$ .
Очевидно, что все три свойства для целых чисел выполнены, причем числом $ \mathfrak{e}$ является число 0, а числом $ \tilde\mathfrak{a}$ является число $ -\mathfrak{a}$ . Таким образом, множество целых чисел с операцией сложения является группой. Обозначается оно обычно $ \mathbb{Z}$ .         

Множество рациональных чисел с операцией сложения и множество вещественных чисел с операцией сложения тоже являются группами. Предоставляем проверку этого факта читателю. Группа целых чисел является подгруппой группы рациональных чисел, которая в свою очередь является подгруппой группы вещественных чисел по сложению.

        Пример 16.3   Пусть $ \mathfrak{G}$  -- множество положительных вещественных чисел. В качестве операции "$ \propto$ " возьмем операцию обычного умножения. Тогда требования к операции запишутся так:
  1. $ (\mathfrak{a}\mathfrak{b})\mathfrak{c}=\mathfrak{a}(\mathfrak{b}\mathfrak{c})$ ;
  2. существует такое число $ \mathfrak{e}$ , что $ {\mathfrak{a}\mathfrak{e}=\mathfrak{a}}$ для любого числа $ \mathfrak{a}$ ;
  3. для любого числа $ \mathfrak{a}$ существует такое число $ \tilde\mathfrak{a}$ , что $ {\mathfrak{a}\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}}$ .
Очевидно, что эти требования выполнены, причем $ {\mathfrak{e}=1}$ , а $ {\tilde
\mathfrak{a}=\mathfrak{a}^{-1}}$ . Таким образом множество положительных чисел с операцией умножения является группой.         

Множество вещественных чисел с операцией умножения группой не является. Действительно, если $ \mathfrak{a}$ взять равным нулю, то нет такого числа $ \tilde\mathfrak{a}$ , чтобы $ {\mathfrak{a}\tilde\mathfrak{a}=1}$ , так как $ {0\cdot\tilde\mathfrak{a}=0}$ . Множество же вещественных чисел, отличных от нуля, с операцией умножения является группой. Проверку этого факта предоставляем читателю.

        Пример 16.4   Множество $ \mathfrak{G}$ из примера 16.1 с операцией "$ \propto$ " является группой. Проверка ассоциативности потребует просмотра 9 троек $ {(\mathfrak{a}\propto\mathfrak{a})\propto\mathfrak{a}}$ , $ {(\mathfrak{a}\propto\mathfrak{a})\propto
\mathfrak{b}}$ и т.д. Роль элемента $ \mathfrak{e}$ выполняет элемент $ \mathfrak{a}$ . Обратные элементы: $ {\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{a}}$ , $ {\tilde\mathfrak{b}=\mathfrak{b}}$ .         

Векторы на прямой, плоскости, в пространстве с операцией сложения также образуют группу.

Во всех разобранных примерах операция "$ \propto$ " обладала свойством коммутативности: $ {\mathfrak{a}\propto\mathfrak{b}=\mathfrak{b}\propto\mathfrak{a}}$ . Группа, в которой операция обладает таким свойством, называется коммутативной группой или абелевой группой по имени норвежского математика Н.Х.Абеля.

Если мы рассмотрим множество $ \mathfrak{G}$ , состоящее из квадратных матриц порядка $ n$ с ненулевым определителем и в качестве операции "$ \propto$ " возьмем умножение матриц, то получим группу. Роль элемента $ \mathfrak{e}$ выполняет единичная матрица $ E$ , и для элемента $ \mathfrak{a}$ , являющегося матрицей $ A$ , элементом $ \tilde\mathfrak{a}$ служит матрица $ A^{-1}$ . В этой группе, как мы видели в разделе "Умножение матриц", операция умножения некоммутативна. Такие группы называются некоммутативными.

В коммутативных группах операцию обычно называют операцией сложения и обозначают "$ +$ ", элемент $ \mathfrak{e}$ называют нулем группы и обозначают "0", хотя этот элемент, вообще говоря, числом не является. Элемент $ \tilde\mathfrak{a}$ называют противоположным элементу $ \mathfrak{a}$ и обозначают " $ -\mathfrak{a}$ ".

Если группа некоммутативная, то операцию называют умножением, $ \mathfrak{e}$ называют единицей группы, а элемент $ \tilde\mathfrak{a}$  -- обратным элементом к $ \mathfrak{a}$ и обозначают $ \mathfrak{a}^{-1}$ .

Исходя из требований к операции, данных в определении группы, можно доказать, что в любой группе элемент $ \mathfrak{e}$ только один, что для любого элемента $ \mathfrak{a}$ выполнено условие $ {\mathfrak{a}\mathfrak{e}=
\mathfrak{e}\mathfrak{a}=\mathfrak{a}}$ , что элемент $ \tilde\mathfrak{a}$ для элемента $ \mathfrak{a}$ определяется однозначно и что $ {\tilde\mathfrak{a}\mathfrak{a}=
\mathfrak{a}\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}}$ .

Теории групп посвящены обширные математические исследования. Они эффективно используются в различных областях математики. С помощью теории групп было, например, доказано, что корни многочлена степени выше четвертой нельзя выразить через конечную комбинацию элементарных функций от коэффициентов многочлена.