‹-- Назад

Алгебраические структуры

Современная алгебра как раздел математики занимается вопросами, связанными с множествами, на которых заданы некоторые операции. Причем с точки зрения алгебры совершенно безразлично, из каких элементов состоит множество, важно лишь, какими свойствами обладают имеющиеся на этом множестве операции. Чаще всего под операцией подразумевается правило (закон), по которому двум элементам из множества, взятым в определенном порядке, сопоставляется третий элемент из этого множества. Такие операции называются бинарными.

Если, например, взять множество действительных чисел, то операциями являются сложение и умножение чисел. Если взять множество квадратных матриц, то для них тоже определены операции сложения и умножения. Но в этом случае, в отличие от множества чисел, умножение обладает другими свойствами, например, оно некоммутативно, и не всегда можно решить уравнение $ {AX=B}$ .

Как правило, в алгебре бинарная операция называется или сложением, или умножением и для нее используются обычные обозначения "+" или "$ \cdot$ ", но это не означает, что операция непременно обладает теми же свойствами сложения или умножения, к которым мы привыкли в школе. В начале, чтобы избежать недоразумений, будем обозначать операцию каким-нибудь экзотическим символом, например "$ \propto$ ", то есть $ {a\propto b}$  -- результат применения операции к элементам $ a$ и $ b$ , причем $ a$  -- первый элемент (первый операнд), $ b$  -- второй (второй операнд).

        Пример 16.1   Пусть множество $ \mathfrak{G}$ состоит только из двух элементов. Один обозначим $ \mathfrak{a}$ , а другой обозначим $ \mathfrak{b}$ , то есть $ {\mathfrak{G}=\{\mathfrak{a};
\mathfrak{b}\}}$ . Тогда можно образовать с учетом порядка элементов только четыре пары: $ {(\mathfrak{a};\mathfrak{a})}$ , $ {(\mathfrak{a};\mathfrak{b})}$ , $ {(\mathfrak{b};\mathfrak{a})}$ , $ {(\mathfrak{b};\mathfrak{b})}$ . Пусть

$\displaystyle \mathfrak{a}\propto \mathfrak{a}=\mathfrak{a},\quad \mathfrak{a}\...
... \mathfrak{a}=\mathfrak{b},\quad
\mathfrak{b}\propto \mathfrak{b}=\mathfrak{a}$

Это пример множества, на котором введена одна операция. На первый взгляд данный пример может показаться очень искусственным, лишенным всякого смысла. Однако это не так, он используется в математической логике, это операция исключающего или или сложение по модулю два.         

Если на произвольном множестве задать произвольно некторую операцию, то как правило, ничего интересного из этого образования извлечь не удастся. Поэтому на операции накладываются дополнительные ограничения, и в зависимости от этих ограничений получаются разные алгебраические структуры, то есть разные типы множеств с операциями. Далее мы рассмотрим несколько алгебраических структур, а именно, группы, кольца, поля, линейные пространства.