‹-- Назад

Существование решения системы линейных уравнений общего вида

        Определение 15.3   Система (15.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной -- в противном случае, то есть в случае, когда решений у системы нет.         

Вопрос о том, имеет ли система решение или нет, связан не только с соотношением числа уравнений и числа неизвестных. Например, система из трех уравнений с двумя неизвестными

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=1,\\ 2x_1+2x_2=2,\\ 3x_1+3x_2=3\end{array}\right.$ (15.4)

имеет решение $ {x_1=2}$ , $ {x_2=-1}$ и даже имеет бесконечно много решений, а система из двух уравнений с тремя неизвестными

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=0,\\ 2x_1+2x_2+2x_3=1\end{array}\right.$ (15.5)

решений не имеет, то есть является несовместной.

Ответ на вопрос о совместности произвольной системы уравнений (15.1) дает приведенная ниже теорема.

        Определение 15.4   Расширенной матрицей системы линейных уравнений (15.1) называется матрица $ A^*$ , отличающаяся от матрицы $ A$ системы наличием дополнительного столбца из свободных членов:

$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&b_1\\
...
...{2n}&b_2\\
\hdotsfor{5}\\
a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}&b_m\end{array}\right).$

        

        Предложение 15.1   Ранг расширенной матрицы $ A^*$ либо равен рангу матрицы системы $ A$ , либо больше его на единицу.

        Доказательство.    Так как любая линейно независимая система столбцов матрицы $ A$ является линейно независимой системой столбцов матрицы $ A^*$ , то в силу предложения 14.26 $ {{\rm Rg}A\leqslant {\rm Rg}A^*}$ .

Пусть $ {{\rm Rg}A=r}$ . Предположим, что $ {{\rm Rg}A^*=r+k}$ , $ {k>1}$ . Тогда в матрице $ A^*$ есть линейно независимая система из $ {r+k}$ столбцов. Среди этих столбцов может быть только один, не принадлежащий матрице $ A$ . Тогда подсистема остальных $ {r+k-1}$ столбцов, принадлежащих матрице $ A$ , должна быть линейно независимой. Следовательно, $ {{\rm Rg}A\geqslant r+k-1}$ . Получили противоречие. Предположение, что $ {k>1}$ , неверно.     

        Теорема 15.2   (Теорема Кронекера-Капелли.) Система линейных уравнений (15.1) является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы $ A$ равен рангу расширенной матрицы $ A^*$ .

        Доказательство.     Оно распадается на два этапа.

1. Пусть система имеет решение. Покажем, что $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ .

Пусть набор чисел $ {({\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_n)}$ является решением системы. Обозначим через $ a_i$ $ i$ -ый столбец матрицы $ A$ , $ {i=1,2,\dots,n}$ . Тогда $ {{\alpha}_1a_1+
{\alpha}_2a_2+\ldots+{\alpha}_na_n=b}$ , то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы $ A$ . Пусть $ {r={\rm Rg}A}$ . Предположим, что $ {{\rm Rg}A^*\ne{\rm Rg}A}$ . Тогда по предложению 15.1 $ {{\rm Rg}A^*=r+1}$ . Выберем в $ A^*$ базисный минор $ M$ . Он имеет порядок $ {r+1}$ . Столбец $ b$ свободных членов обязан проходить через этот минор, иначе он будет базисным минором матрицы $ A$ . Столбец свободных членов в миноре $ M$ является линейной комбинацией столбцов матрицы $ A$ . В силу свойств определителя ( предложения 14.13, 14.18) $ {M={\alpha}_1M_1+{\alpha}_2M_2+\ldots+{\alpha}_nM_n}$ , где $ M_i$  -- определитель, который получается из минора $ M$ заменой столбца свободных членов на столбец $ a_i$ . Если столбец $ a_i$ проходил через минор $ M$ , то в $ M_i$ , будет два одинаковых столбца и, следовательно, $ {M_i=0}$ . Если столбец $ a_i$ не проходил через минор $ M$ , то $ M_i$ будет отличаться от минора порядка $ {r+1}$ матрицы $ A$ только порядком столбцов. Так как $ {{\rm Rg}A=r}$ , то $ {M_i=0}$ . Таким образом, $ {M={\alpha}_1\cdot 0+{\alpha}_2\cdot 0+\ldots
+{\alpha}_n\cdot 0=0}$ , что противоречит определению базисного минора. Значит, предположение, что $ {{\rm Rg}A^*\ne{\rm Rg}A}$ , неверно.

2. Пусть $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ . Покажем, что система имеет решение. Так как $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ , то базисный минор $ M$ матрицы $ A$ является базисным минором матрицы $ A^*$ . Пусть через минор $ M$ проходят столбцы $ {a_{i_1},\,a_{i_2},
\dots,\,a_{i_r}}$ . Тогда по теореме о базисном миноре в матрице $ A^*$ столбец свободных членов является линейной комбинацией указанных столбцов:

$\displaystyle b={\alpha}_1a_{i_1}+{\alpha}_2a_{i_2}+\ldots+{\alpha}_ra_{i_r}.$ (15.6)

Положим $ {x_{i_1}={\alpha}_1}$ , $ {x_{i_2}={\alpha}_2}$ , $ \dots$ , $ {x_{i_r}={\alpha}_r}$ , остальные неизвестные возьмем равными нулю. Тогда при этих значениях $ {x_1,\,x_2,\,\dots\,x_n}$ получим

$\displaystyle x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n={\alpha}_1x_{i_1}+{\alpha}_2x_{i_2}+\ldots+{\alpha}_r
x_{i_r}.$

В силу равенства (15.6) $ {x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n=b}$ . Последнее равенство означает, что набор чисел $ {x_1,\,x_2,\,\dots\,x_n}$ является решением системы. Существование решения доказано.     

В рассмотренной выше системе (15.4) $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*=1}$ , и система является совместной. В системе (15.5) $ {{\rm Rg}A=1}$ , $ {{\rm Rg}A^*=2}$ , и система является несовместной.

        Замечание 15.3   Хотя теорема Кронекера-Капелли дает возможность определить, является ли система совместной, применяется она довольно редко, в основном в теоретических исследованиях. Причина заключается в том, что вычисления, выполняемые при нахождении ранга матрицы, в основном совпадают с вычислениями при нахождении решения системы. Поэтому, обычно вместо того, чтобы находить $ {\rm Rg}A$ и $ {\rm Rg}A^*$ , ищут решение системы. Если его удается найти, то узнаем, что система совместна и одновременно получаем ее решение. Если решение не удается найти, то делаем вывод, что система несовместна.