‹-- Назад

Пусть $ k=2$ , c -- вектор, отличный от нуля, $ {{\bf a}_1=2{\bf c}}$ , $ {{\bf a}_2=3{\bf c}}$ . Попробуем, сложив векторы $ {\bf a}_1$ и $ {\bf a}_2$ с какими-то коэффициентами, получить 0. Во-первых, сумма $ 0\cdot {\bf a}_1+0\cdot{\bf a}_2$ равна нулю. Но нулевой набор коэффициентов нам ни о чем не говорит: сумма любых векторов с нулевыми коэффициентами равна нулю! Возьмем коэффициенты $ {{\alpha}_1=1}$ , $ {{\alpha}_2=-5}$ . Получим $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2=
2{\bf c}+(-5)(3{\bf c})=-13{\bf c}\ne0$ .

Возьмем коэффициенты 2 и 1: $ 2{\bf a}_1+{\bf a}_2=4{\bf c}+3{\bf c}=7{\bf c}\ne 0$ .

Возьмем коэффициенты 0 и 4: $ 0{\bf a}_1+4{\bf a}_2=12{\bf c}\ne 0$ .

Возьмем коэффициенты $ -3$ и 2: $ -3{\bf a}_1+2{\bf a}_2=-6{\bf c}+6{\bf c}= 0$ . Ура! Ненулевые коэффициенты нашлись, значит, система векторов линейно зависима.

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора $ {\bf a}_1$ и $ {\bf a}_2$ .




Рис.10.11.


Попробуем составить несколько линейных комбинаций с ненулевыми коэффициентами, чтобы получить нулевой вектор. Возьмем наборы коэффициентов $ (-2;1)$ , $ (1.5; 1)$ , $ (-3;2)$ , результаты на рисунке.




Рис.10.12.


Когда надоест перебирать различные комбинации коэффициентов, заметим, что если оба коэффициента не нулевые, то стороны параллелограмма при построении суммы будут ненулевыми и, следовательно, диагональ длины 0 получиться не может. Если один из коэффициентов равен нулю, а другой отличен от нуля, то линейная комбинация будет равна одному из векторов, умноженному на последний коэффициент, и тоже будет не равна нулю. Таким образом, вектор $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2$ будет равен нулю только при $ {{\alpha}_1={\alpha}_2=0}$ . Поэтому система веторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2$ является линейно независимой.

Из приведенных примеров можно сделать следующий вывод. Для того, чтобы установить, что система векторов является линейно зависимой, нужно перебирать все возможные наборы коэффициентов, в которых есть хотя бы одно ненулевое число. Как только получится, что линейная комбинация равна нулю, перебор останавливается, и заключаем, что система линейно зависима.

Для того, чтобы установить, что система векторов линейно независимая, нужно перебрать все (бесконечно много!) наборы коэффициентов, в которых есть хотя бы одно ненулевое число, и убедиться, что нулевой вектор никогда не получится. Только в этом случае делаем вывод, что система является линейно независимой.

В действительности линейная зависимость или линейная независимость системы векторов устанавливается другими методами, но об этом позже.