‹-- Назад

Обратная матрица

        Определение 14.8   Матрица $ B$ называется обратной матрицей для квадратной матрицы $ A$ , если $ {AB=BA=E}$ .         

Из определения следует, что обратная матрица $ B$ будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица $ A$ (иначе одно из произведений $ AB$ или $ BA$ было бы не определено).

Обратная матрица для матрицы $ A$ обозначается $ A^{-1}$ . Таким образом, если $ A^{-1}$ существует, то $ {AA^{-1}=A^{-1}A=E}$ .

Из определения обратной матрицы следует, что матрица $ A$ является обратной для матрицы $ A^{-1}$ , то есть $ {(A^{-1})^{-1}=A}$ . Про матрицы $ A$ и $ A^{-1}$ можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

        Предложение 14.20   Если матрица $ A$ имеет обратную, то $ {\vert A\vert\ne0}$ и $ {\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^{-1}}$ .

        Доказательство.     Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей ( предложение 14.7), то $ {\vert AA^{-1}\vert=\vert A\vert\vert A^{-1}\vert=\vert E\vert}$ . По  следствию 14.1 $ {\vert E\vert=1}$ , поэтому $ {\vert A\vert\vert A^{-1}\vert=1}$ , что невозможно при $ {\vert A\vert=0}$ . Из предыдущего равенства следует также $ {\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^{-1}}$ .     

Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

        Определение 14.9   Квадратную матрицу $ A$ назовем вырожденной или особенной матрицей, если $ {\vert A\vert=0}$ , и невырожденной или неособенной матрицей, если $ {\vert A\vert\ne0}$ .         

        Предложение 14.21   Если обратная матрица существует, то она единственна.

        Доказательство.     Пусть две матрицы $ B$ и $ C$ являются обратными для матрицы $ A$ . Тогда

$\displaystyle BAC=(BA)C=EC=C$   и$\displaystyle \quad BAC=B(AC)=BE=B.$

Следовательно, $ B=C$ .     

        Предложение 14.22   Если квадратная матрица $ A$ является невырожденной, то обратная для нее существует и

$\displaystyle A^{-1}=\frac1{\vert A\vert}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}...
...n2}\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ 
 A_{1n}&A_{2n}&\dots&A_{nn}\end{array}\right),$ (14.14)

где $ A_{ij}$  -- алгебраические дополнения к элементам $ a_{ij}$ .

        Доказательство.     Так как для невырожденной матрицы $ A$ правая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы $ A$ . Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой $ B$ . Тогда нужно проверить, что $ {AB=E}$ и что $ {BA=E}$ . Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично.

Пусть $ AB=C$ . Найдем элементы матрицы $ C$ , учитывая, что $ {b_{kj}=\dfrac{A_{jk}}{\vert A\vert}}$ :

$\displaystyle c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}=\sum_{k=1}^n a_{ik}\frac{A_{jk}}{\vert A\vert}=
\frac1{\vert A\vert}\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk}.$

Если $ i\ne j$ , то по  предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть $ {c_{ij}=0}$ при $ {i\ne j}$ .

Если $ i=j$ , то

$\displaystyle c_{ii}=\frac1{\vert A\vert}\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}.$

Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы $ A$ по $ i$ -ой строке (предложение 14.16). Таким образом,

$\displaystyle c_{ii}=\frac1{\vert A\vert}\cdot \vert A\vert=1.$

Итак, в матрице $ C$ диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть $ {C=E}$ .     

Результаты предложений 14.20, 14.21, 14.22 соберем в одну теорему.

        Теорема 14.1   Обратная матрица для квадратной матрицы $ A$ существует тогда и только тогда, когда матрица $ A$  -- невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (14.14).     

        Замечание 14.12   Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца, а второй -- номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.         

        Пример 14.7   Найдите обратную матрицу для матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\end{array}\right)}$ .

Решение. Находим определитель

$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\...
...ray}\right\vert+0\left\vert\begin{array}{rr}3&4\\ -1&3\end{array}\right\vert=8.$

Так как $ \vert A\vert\ne0$ , то матрица $ A$  -- невырожденная, и обратная для нее существует.

Находим алгебраические дополнения:

$\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}\left\vert\begin{array}{rr}4&2\\ 3&1\end{array}\...
..._{12}=(-1)^{1+2}\left\vert\begin{array}{rr}3&2\\ -1&1\end{array}\right\vert=-5,$

$\displaystyle A_{13}=(-1)^{1+3}\left\vert\begin{array}{rr}3&4\\ -1&3\end{array}...
...A_{21}=(-1)^{2+1}\left\vert\begin{array}{rr}-2&0\\ 3&1\end{array}\right\vert=2,$

$\displaystyle A_{22}=(-1)^{2+2}\left\vert\begin{array}{rr}1&0\\ -1&1\end{array}...
...{23}=(-1)^{2+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&-2\\ -1&3\end{array}\right\vert=-1,$

$\displaystyle A_{31}=(-1)^{3+1}\left\vert\begin{array}{rr}-2&0\\ 4&2\end{array}...
...A_{32}=(-1)^{3+2}\left\vert\begin{array}{rr}1&0\\ 3&2\end{array}\right\vert=-2,$

$\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&-2\\ 3&4\end{array}\right\vert=10.$

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -- строке:

$\displaystyle A^{-1}=\frac18\left(\begin{array}{rrr}-2&2&-4\\ -5&1&-2\\ 13&-1&10\end{array}\right).$ (14.15)

Полученная матрица и служит ответом к задаче.         

        Замечание 14.13   В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:

$\displaystyle A^{-1}=
 \left(\begin{array}{rrr}\phantom{\dfrac11}-\frac28&\frac...
...8&-\frac14\\ 
 \phantom{\dfrac11}\frac{13}8&-\frac18&\frac54\end{array}\right).$ (14.16)

Однако запись (14.15) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (14.15) предпочтительнее, если элементы матриц -- целые числа. И наоборот, если элементы матрицы $ A$  -- десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя $ \frac1{\vert A\vert}$ впереди.         

        Замечание 14.14   При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.         

        Пример 14.8   Найдите обратную матрицу для матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\ -2&5\end{array}\right)}$ .

Решение.

$\displaystyle \vert A\vert=11\ne0\quad\Rightarrow\quad A^{-1}$ -- существует.

$\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot5=5,\quad A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot(-2)=2,$

$\displaystyle A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot3=-3,\quad A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot1=1.$

Ответ: $ A^{-1}=\dfrac1{11}\left(\begin{array}{rr}5&-3\\ 2&1\end{array}\right)$ .         

Нахождение обратной матрицы по формуле (14.14) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.