‹-- Назад

Определители

С понятием определителя мы уже сталкивались при изучении векторного произведения в разделе 10. Там были введены определители матриц второго и третьего порядка. В этом разделе мы дадим определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка $ n$ , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка $ {n-1}$ . Такое рекуррентное определение и было использовано для введения определителя матрицы третьего порядка. Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы $ A$ будем обозначать $ \vert A\vert$ или $ \det A$ .

        Определение 14.6   Определителем квадратной матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rr}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}
\end{array}\right)}$ второго порядка называется число $ {\vert A\vert=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$ . Определителем квадратной матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdo...
...n}\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots
&a_{nn}\end{array}\right)}$ порядка $ n$ , $ n\geqslant 3$ , называется число

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}a_{1k}M_k,$

где $ M_k$  -- определитель матрицы порядка $ {n-1}$ , полученной из матрицы $ A$ вычеркиванием первой строки и столбца с номером $ k$ .         

Легко проверить, что это определение для определителей второго и третьего порядка совпадает с данным ранее в разделе 10.

Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка:

\begin{multline*}
\vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&a_{13...
...31}&a_{32}&a_{33}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{array}\right\vert.
\end{multline*}

        Замечание 14.7   Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.         

        Замечание 14.8   В определении 14.6 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка $ n$ и принимающая значения в множестве чисел.         

        Замечание 14.9   В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение $ \det A$ .         

Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде предложений.

        Предложение 14.6   При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть $ {\vert A^\top\vert=\vert A\vert}$ .     

        Предложение 14.7   Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть $ {\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert}$ .     

        Предложение 14.8   Если в матрице $ A$ поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.     

Ввиду ограниченности курса доказательства этих трех свойств мы опускаем. Читатель может найти их в учебниках по линейной алгебре [3], [5] или же может без особых сложностей проверить их на матрицах второго и третьего порядков.

        Предложение 14.9   Если матрица $ A$ имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

        Доказательство.     Поменяем местами две одинаковые строки. В силу предложения 14.8 определитель сменит знак. С другой стороны, так как строки были одинаковыми, то матрица не изменилась и, следовательно, не изменился и ее определитель. Получим, что $ {\vert A\vert=-\vert A\vert}$ , откуда следует, что $ {\vert A\vert=0}$ .     

В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.

        Предложение 14.10   Если строку матрицы умножить на число $ {\alpha}$ , то ее определитель умножится на это число.

        Доказательство.     Пусть $ A$ -- исходная матрица, $ B$  -- матрица, полученная из $ A$ умножением первой строки на число $ {\alpha}$ :

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}...
...n}\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots
&a_{nn}\end{array}\right).$

Тогда

$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}{\alpha}a_{1k}M_k,$

где $ M_k$ -- определитель матрицы, полученной из матрицы $ B$ или, что то же самое, из матрицы $ A$ вычеркиванием первой строки и $ k$ -ого столбца.

Вынесем множитель $ {\alpha}$ за знак суммы и получим

$\displaystyle \vert B\vert={\alpha}\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}a_{1k}M_k={\alpha}\vert A\vert.$

Пусть теперь матрица $ B$ получается из матрицы $ A$ умножением $ j$ -ой строки на число $ {\alpha}$ . Поменяем местами первую и $ j$ -ую строки в матрице $ A$ и то же самое проделаем в матрице $ B$ . Получим две новых матрицы $ A_1$ и $ B_1$ . По предложению 14.8

$\displaystyle \vert A\vert=-\vert A_1\vert,\quad \vert B\vert=-\vert B_1\vert.$ (14.10)

Очевидно, что матрица $ B_1$ получается из матрицы $ A_1$ умножением первой строки на число $ {\alpha}$ . Как только что было доказано, $ {\vert B_1\vert={\alpha}\vert A_1\vert}$ . Таким образом, из второго равенства (14.10) находим $ {\vert B\vert=-{\alpha}\vert A_1\vert}$ , отсюда с помощью первого равенства (14.10) получаем $ {\vert B\vert={\alpha}\vert A\vert}$ .     

        Предложение 14.11   Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

        Доказательство.     Нулевую строку можно рассматривать как строку из единиц, умноженную на число ноль. По предложению 14.10 определитель такой матрицы равен нулю, умноженному на определитель матрицы, содержащей строку из единиц. Результат такого умножения всегда будет ноль.     

        Предложение 14.12   Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число $ {\alpha}$ (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

        Доказательство.    По предложению 14.10 определитель исходной матрицы равен числу $ {\alpha}$ , умноженному на определитель матрицы, у которой есть две одинаковые строки. По предложению 14.9 определитель последней матрицы равен нулю. Поэтому и определитель исходной матрицы равен нулю.     

        Предложение 14.13   Пусть в матрице $ A$ $ i$ -ая строка имеет вид $ \left(\begin{array}{cccc}p_1+q_1&p_2+q_2&\cdots&p_n+q_n\end{array}\right)$ . Тогда $ {\vert A\vert=\vert A_p\vert+\vert A_q\vert}$ , где матрица $ A_p$ получается из матрицы $ A$ заменой $ i$ -ой строки на строку $ \left(\begin{array}{cccc}p_1&p_2&\cdots&p_n\end{array}\right)$ , а матрица $ A_q$  -- заменой $ i$ -ой строки на строку $ \left(\begin{array}{cccc}q_1&q_2&\cdots&q_n\end{array}\right)$ .

        Доказательство.     Пусть первая строка матрицы $ A$ имеет вид $ \left(\begin{array}{cccc}p_1+q_1&p_2+q_2&\cdots&p_n+q_n\end{array}\right)$ . Тогда

\begin{multline*}
\vert A\vert=\sum_{k=1}^n(p_k+q_k)(-1)^{k+1}M_k=\sum_{k=1}^np...
...
+ \sum_{k=1}^nq_k(-1)^{k+1}M_k=\vert A_p\vert+\vert A_q\vert.
\end{multline*}

Для случая $ i=1$ утверждение доказано.

Пусть $ i\ne1$ . Обозначим через $ B$ , $ B_p$ , $ B_q$ матрицы $ A$ , $ A_p$ , и $ A_q$ , в которых поменяли местами первую и $ i$ -ую строки. По только что доказанному (для $ i=1$ ) утверждению $ {\vert B\vert=\vert B_p\vert+\vert B_q\vert}$ . По предложению 14.8 $ {\vert B\vert=-\vert A\vert}$ , $ {\vert B_p\vert=-\vert A_p\vert}$ , $ {\vert B_q\vert=-\vert A_q\vert}$ . Следовательно, $ {-\vert A\vert=-\vert A_p\vert-\vert A_q\vert}$ . Умножив обе части последнего равенства на $ -1$ , получим требуемое утверждение.     

        Предложение 14.14   Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

        Доказательство.     Пусть к $ i$ -ой строке матрицы $ A$ прибавлена $ j$ -ая строка, умноженная на число $ {\alpha}$ . Новую матрицу обозначим $ B$ . В матрице $ B$ элементы $ i$ -ой строки имеют вид $ {a_{ik}+{\alpha}a_{jk}}$ . По предложению 14.13 $ {\vert B\vert=\vert A\vert+\vert C\vert}$ , где $ C$  -- матрица, полученная из матрицы $ A$ заменой $ i$ -ой строки на $ j$ -ую строку, умноженную на число $ {\alpha}$ . По предложению 14.12 $ {\vert C\vert=0}$ , то есть $ {\vert B\vert=\vert A\vert}$ .     

        Предложение 14.15   Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

        Доказательство.     По предложению 14.13 определитель исходной матрицы равен сумме определителей матриц, в каждой из которых есть пропорциональные строки. По предложению 14.12 все эти определители равны нулю. Следовательно, и определитель исходной матрицы тоже равен нулю.     

        Определение 14.7   Алгебраическим дополнением к элементу $ a_{ij}$ матрицы $ A$ называется число, равное $ (-1)^{i+j}\cdot M_{ij}$ , где $ M_{ij}$  -- определитель матрицы, полученной из матрицы $ A$ вычеркиванием $ i$ -ой строки и $ j$ -ого столбца.         

Алгебраическое дополнение к элементу $ a_{ij}$ матрицы $ A$ обозначается $ A_{ij}$ .

        Пример 14.4   Пусть $ {A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\ -1&0&-2\\ -4&-3&5\end{array}\right)}$ . Тогда

$\displaystyle A_{12}=(-1)^{1+2}\left\vert\begin{array}{rr}-1&-2\\ -4&5\end{array}\right\vert=13,$

$\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&2\\ -1&0\end{array}\right\vert=2.$

        

        Замечание 14.10   Используя алгебраические дополнения, определение 14.6 определителя можно записать так:

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n a_{1k}A_{1k}.$

        

        Предложение 14.16   Разложение определителя по произвольной строке. Для определителя матрицы $ A$ справедлива формула

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}.$

        Доказательство.     Если $ i=1$ , положим $ {B=A}$ . Пусть $ {i\ne1}$ . Тогда $ i$ -ую строку поменяем местами со строкой с номером $ {i-1}$ . Определитель сменит знак. Затем строку с номером $ {i-1}$ поменяем местами со строкой с номером $ {i-2}$ . Определитель снова сменит знак. Процесс перестановки строк будем продолжать до тех пор, пока $ i$ -ая строка матрицы $ A$ не станет первой строкой новой матрицы, которую мы обозначим $ B$ . Отметим, что в матрице $ B$ , начиная со второй строки, стоят строки матрицы $ A$ , причем порядок их следования не изменился.

При переходе от матрицы $ A$ к матрице $ B$ определитель сменит знак $ i-1$ раз (проверьте для случая $ i=3$ ). Таким образом

$\displaystyle \vert A\vert=(-1)^{i-1}\vert B\vert.$ (14.11)

Это соотношение верно и при $ i=1$ . По определению 14.6 определителя,

$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^nb_{1k}(-1)^{k+1}N_k,$

где $ N_k$  -- определитель матрицы, полученной из матрицы $ B$ вычеркиванием первой строки и $ k$ -ого столбца. Первая строка матрицы $ B$ совпадает с $ i$ -ой строкой матрицы $ A$ , поэтому $ {b_{1k}=a_{ik}}$ . Результат вычеркивания в матрице $ B$ первой строки и $ k$ -ого столбца будет таким же, как при вычеркивании в матрице $ A$ $ i$ -ой строки и $ k$ -ого столбца. Поэтому $ {N_k=M_{ik}}$ , где $ M_{ik}$  -- определитель матрицы, полученной при вычеркивании в матрице $ A$ $ i$ -ой строки и $ k$ -ого столбца. Следовательно,

$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^n a_{ik}(-1)^{k+1}M_{ik}.$

В силу равенства (14.11) получим

$\displaystyle \vert A\vert=(-1)^{i-1}\sum_{k=1}^n a_{ik}(-1)^{k+1}M_{ik}=\sum_{k=1}^n a_{ik}
(-1)^{i+k}M_{ik}.$

По определению 14.7 алгебраического дополнения получим $ {(-1)^{i+k}
M_{ik}=A_{ik}}$ . Тогда из предыдущего равенства вытекает

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik},$

что и требовалось доказать.     

        Пример 14.5   Вычислите $ \left\vert\begin{array}{rrr}2&-1&4\\ 1&0.7&-5\\ 0&3&0\end{array}\right\vert$ .

Решение. Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в третьей строке два числа из трех -- нули. Получим

\begin{multline*}
\left\vert\begin{array}{rrr}2&-1&4\\ 1&0.7&-5\\ 0&3&0\end{arr...
...egin{array}{rr}3&-1\\ 1&0.7\end{array}\right\vert=-3(-10-4)=42.
\end{multline*}

        

        Предложение 14.17   Для квадратной матрицы $ A$ порядка $ n$ при $ {i\ne j}$ выполнено соотношение

$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk}=0.$ (14.12)

        Доказательство.     Пусть $ B$  -- матрица, полученная из матрицы $ A$ , в которой $ j$ -ая строка заменена $ i$ -ой строкой этой же матрицы, а сама $ i$ -ая строка осталась без изменения. Таким образом, в матрице $ B$ есть две одинаковые строки и в силу  предложения 14.9 $ {\vert B\vert=0}$ .

С другой стороны, используя разложение определителя по $ j$ -ой строке (предложение 14.16), получим

$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^nb_{jk}B_{jk},$

где $ B_{jk}$  -- алгебраическое дополнение к элементу $ b_{jk}$ . Так как все строки матрицы $ B$ , кроме $ j$ -ой, совпадают со строками матрицы $ A$ , то $ {B_{jk}=A_{jk}}$ . Так как по построению матрицы $ B$ $ {b_{jk}=a_{ik}}$ , то

$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^na_{ik}A_{jk}.$

Так как $ {\vert B\vert=0}$ , то равенство (14.12) доказано.     

        Предложение 14.18   Все свойства определителя, сформулированные для строк ( предложения 14.8-14.17), справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по $ j$ -ому столбцу

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij},$ (14.13)

и равенство

$\displaystyle \sum_{i=1}^na_{ij}A_{ik}=0$

при $ j\ne k$ .

        Доказательство.     В силу  предложения 14.6 определитель не меняется при транспонировании матрицы, а ее столбцы становятся строками транспонированной матрицы, для которой доказываемые свойства имеют место.     

        Предложение 14.19   Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

        Доказательство.     Воспользуемся индукцией по порядку матрицы. Для $ {n=2}$ :

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{rr}a&0\\ b&c\end{array}\right\vert=ac,\quad
\left\vert\begin{array}{rr}a&b\\ 0&c\end{array}\right\vert=ac,$

утверждение верно. Предположим, что доказываемое утверждение верно для матриц порядка $ {n-1}$ . Покажем, что оно верно для матрицы порядка $ n$ .

Если $ A$ -- верхняя треугольная матрица, то используем разложение по первому столбцу (равенство (14.13) при $ {j=1}$ ):

\begin{multline*}
\vert A\vert=\left\vert\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{1...
...ots&\dots&\dots&\dots\\ 0&0&\dots&a_{nn}\end{array}\right\vert.
\end{multline*}

Справа стоит определитель треугольной марицы порядка $ {n-1}$ . По предположению индукции этот определитель равен $ {a_{22}a_{33}\ldots a_{nn}}$ . Поэтому $ {\vert A\vert=a_{11}a_{22}a_{33}\ldots a_{nn}}$ .

Если $ A$  -- нижняя треугольная матрицы, то нужно воспользоваться разложением по первой строке. В остальном рассуждения аналогичны.

Итак, утверждение верно для матрицы порядка $ n$ . Предложение доказано.     

        Следствие 14.1   Определитель единичной матрицы равен единице, $ {\vert E\vert=1}$ .     

Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Алгоритм вычислений следующий.

Алгоритм создания нулей в столбце.

Пусть требуется вычислить определитель матрицы $ A$ порядка $ n$ . Если $ {a_{11}=0}$ , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель $ A$ , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица $ A$ имеет нулевой столбец и по  предложениям 14.11, 14.18 ее определитель равен нулю.

Итак, считаем, что уже в исходной матрице $ {a_{11}\ne0}$ . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{21}}{a_{11}}\right)$ . Тогда первый элемент второй строки будет равен

$\displaystyle a_{21}^{(1)}=a_{21}+a_{11}\left(-\frac{a_{21}}{a_{11}}\right)=0.$

Остальные элементы новой второй строки обозначим $ a_{2k}^{(1)}$ , $ {k=2,3,\ldots,n}$ . Определитель новой матрицы по  предложению 14.14 равен $ \vert A\vert$ .

Первую строку умножим на число $ \left(-\dfrac{a_{31}}{a_{11}}\right)$ и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен

$\displaystyle a_{31}^{(1)}=a_{31}+a_{11}\left(-\frac{a_{31}}{a_{11}}\right)=0.$

Остальные элементы новой третьей строки обозначим $ a_{3k}^{(1)}$ , $ {k=2,3,\ldots,n}$ . Определитель новой матрицы по  предложению 14.14 равен $ \vert A\vert$ .

Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на число $ \left(-\dfrac{a_{n1}}{a_{11}}\right)$ и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее $ A^{(1)}$ , которая имеет вид

$\displaystyle A^{(1)}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1...
...ots&\dots\\
0&a_{n2}^{(1)}&a_{n3}^{(1)}&\dots&a_{nn}^{(1)}\end{array}\right),$

причем $ \vert A\vert=\vert A^{(1)}\vert$ . Для вычисления определителя матрицы $ A^{(1)}$ используем разложение по первому столбцу

$\displaystyle \vert A\vert=\vert A^{(1)}\vert=a_{11}A_{11}^{(1)}+0\cdot A_{21}^{(1)}+\ldots+0\cdot A_{n1}^
{(1)}.$

Так как $ (-1)^{1+1}=1$ , то

$\displaystyle \vert A\vert=a_{11}\left\vert\begin{array}{cccc}a_{22}^{(1)}&a_{2...
...s&\dots\\
a_{n2}^{(1)}&a_{n3}^{(1)}&\dots&a_{nn}^{(1)}\end{array}\right\vert.$

В правой части стоит определитель матрицы порядка $ {n-1}$ . К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы $ A$ сведется к вычислению определителя матрицы порядка $ {n-2}$ . Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.     

Если матрица $ A$ не обладает какими-то специфическими свойствами, то заметно уменьшить объем вычислений по сравнению с предложенным алгоритмом не удается. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма -- по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера.

        Пример 14.6   Вычислите определитель матрицы

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 3&1&7&0\\ -4&-1&2&1\\
-6&7&1&-1\end{array}\right)$

.

Решение. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\dfrac32$ :

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}3&1&7&0\end{array}\right)+\left(-\dfrac3...
...ay}\right)=
\left(\begin{array}{rrrr}0&\dfrac52&\dfrac52&-3\end{array}\right).$

Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\left(\dfrac{-4}2\right)=2$ :

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}-4&-1&2&1\end{array}\right)+2\left(\begi...
...-1&3&2\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{rrrr}0&-3&8&5\end{array}\right).$

Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\left(\dfrac{-6}2\right)=3$ :

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}-6&7&1&-1\end{array}\right)+3\left(\begi...
...-1&3&2\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{rrrr}0&4&10&5\end{array}\right).$

Определитель не меняется. В результате получаем

$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 0&
\phantom...
...\phantom{\dfrac52}\frac52&\frac52&-3\\
-3&8&5\\ 4&10&5\end{array}\right\vert.$

По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ {-\left(\dfrac{-3}{\left(\frac52\right)}\right)=\dfrac65}$ :

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-3&8&5\end{array}\right)+\dfrac65\left(\b...
...2&-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0&11&\dfrac75\end{array}\right).$

К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число $ {-\left(\dfrac{4}{\left(\frac52\right)}\right)=-\dfrac85}$ :

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}4&10&5\end{array}\right)-\dfrac85\left(\b...
...-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0&6&\dfrac{49}5\end{array}\right).$

В результате получаем

\begin{multline*}
\vert A\vert=2\left\vert\begin{array}{rrr}\phantom{\dfrac52}\...
...5\left(11\cdot\frac{49}5-6\cdot\frac75\right)=11\cdot49-42=497.
\end{multline*}

Ответ. $ \vert A\vert=497$ .         

        Замечание 14.11   Внимательный читатель, наверное, отметил, что хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа -- целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие-то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно.