‹-- Назад

Транспонирование матрицы

Над матрицами определена еще одна операция, называемая транспонированием.

        Определение 14.5   Пусть $ A$ -- матрица размеров $ m\times n$ . Тогда транспонированной матрицей $ A$ называется такая матрица $ B$ размеров $ n\times m$ , что $ {b_{ij}=
a_{ji}}$ , $ {i=1,\dots,n}$ , $ {j=1,\dots,m}$ .         

Транспонированная матрица $ A$ обозначается $ A^{\top}$ или $ ^tA$ . Операция транспонирования заключается в том, что строки и столбцы в исходной матрице меняются ролями. В транспонированной матрице первым столбцом служит первая строка исходной матрицы, вторым столбцом -- вторая строка исходной матрицы и т.д. Например,

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1&2\\ 3&-1\\ 4&-2\end{array}\right),\quad A^{\top}=
\left(\begin{array}{rrr}1&3&4\\ 2&-1&-2\end{array}\right),$

$\displaystyle B=\left(\begin{array}{rr}3&1\\ 2&-4\end{array}\right),\quad B^{\top}=\left(\begin{array}{rr}3&2\\ 1&-4\end{array}\right).$

Читатель легко проверит, что

$\displaystyle \left(A^\top\right)^\top=A,\quad
(A+B)^{\top}=A^{\top}+B^{\top},\quad ({\alpha}A)^{\top}={\alpha}\left(A^{\top}
\right),$

где $ {\alpha}$ -- число.

        Предложение 14.5   Если произведение $ AB$ определено, то

$\displaystyle (AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}.$ (14.8)

        Доказательство.     Пусть $ A$ -- матрица размеров $ m\times n$ , $ B$  -- матрица размеров $ n\times k$ . Тогда $ A^{\top}$ имеет размеры $ n\times m$ , $ B^{\top}$  -- размеры $ k\times n$ . Число столбцов в $ B^{\top}$ совпадает с числом строк в $ A^{\top}$ , поэтому произведение $ B^{\top}$ на $ A^{\top}$ определено. Размеры этого произведения $ k\times m$ . Матрица $ AB$ имеет размеры $ m\times k$ , поэтому $ (AB)^{\top}$  -- матрица размеров $ k\times m$ . Итак, матрицы в правой и левой части равенства (14.8) существуют и имеют одинаковые размеры.

Пусть $ C=AB$ , $ D=(AB)^{\top}=C^\top$ , $ F=B^\top$ , $ {G=A^\top}$ , $ {H=B^\top A^\top=FG}$ . Нам нужно показать, что $ {d_{ij}=h_{ij}}$ , $ i=1,\dots,k$ , $ {j=1,\dots,m}$ .

По определению транспонирования $ d_{ij}=c_{ji}$ . По определению умножения матриц

$\displaystyle d_{ij}=c_{ji}=\sum_{s=1}^na_{js}b_{si}.$ (14.9)

С другой стороны,

$\displaystyle h_{ij}=\sum_{s=1}^nf_{is}g_{sj},\quad f_{is}=b_{si},\quad g_{sj}=a_{js}.$

Поэтому

$\displaystyle h_{ij}=\sum_{s=1}^nb_{si}a_{js}=\sum_{s=1}^na_{js}b_{si}.$

Сравнивая полученный результат с (14.9), получаем $ d_{ij}=h_{ij}$ .