‹-- Назад

Сложение матриц и умножение на число

Сложение определено только для матриц одинаковых размеров.

        Определение 14.2   Суммой матриц $ A$ и $ B$ размеров $ m\times n$ является матрица $ C$ таких же размеров, у которой $ {c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$ , $ {i=1,2,\dots,m}$ , $ {j=1,2,\dots,n}$ .         

Другими словами, при сложении матриц складываются элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}2&3&1\\ -1&2&4\end{array}\right)+\left(\b...
...-1\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{rrr}5&3&3\\ 0&0&3\end{array}\right).$

        Определение 14.3   Произведением матрицы $ A$ размеров $ m\times n$ на число $ {\alpha}$ называется матрица $ C$ таких же размеров, у которой $ {c_{ij}={\alpha}a_{ij}}$ , $ {i=1,2,\dots,m}$ , $ {j=1,2,\dots,n}$ .         

Другими словами, при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число. Например, $ {\quad 3\left(\begin{array}{rr}2&1\\ -4&5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}6&3\\ -12&15\end{array}\right)}$ .

Операцию вычитания матриц можно определить следующим способом:

$\displaystyle A-B=A+(-1)B,$

что соответствует вычитанию элементов, стоящих на одинаковых местах.

Используя операции сложения и умножения, мы можем находить линейные комбинации матриц, то есть выражения вида $ {{\alpha}_1A_1+{\alpha}_2A_2+\ldots
+{\alpha}_kA_k}$ , где $ {{\alpha}_1,{\alpha}_2,\ldots,{\alpha}_k}$  -- числа, $ {A_1,A_2,\ldots,A_k}$  -- матрицы одинаковых размеров.

        Пример 14.1   Пусть $ A=\left(\begin{array}{rrr}1&3&2\\ -1&4&1\end{array}\right)$ , $ B=\left(\begin{array}{rrr}3&-2&0\\
-5&1&3\end{array}\right)$ . Найдем $ {3A-2B}$ :

\begin{multline*}
3A-2B=3\left(\begin{array}{rrr}1&3&2\\ -1&4&1\end{array}\righ...
...
=\left(\begin{array}{rrr}-3&13&6\\ 7&10&-3\end{array}\right).
\end{multline*}

        

Легко проверить, что операции сложения матриц и умножения матрицы на число, называемые линейными операциями, обладают следующими свойствами:

  1. $ A+B=B+A$ -- свойство коммутативности;
  2. $ A+(B+C)=(A+B)+C$ -- свойство ассоциативности;
  3. $ A+0=A$ ;
  4. $ A+(-A)=0$ ;
  5. $ {\alpha}(A+B)={\alpha}A+{\alpha}B$ -- свойство дистрибутивности;
  6. $ ({\alpha}+{\beta})A={\alpha}A+{\beta}A$ ;
  7. $ {\alpha}({\beta}A)=({\alpha}{\beta})A$ ;
  8. $ 1\cdot A=A$ .
Здесь $ A,\,B,\,C$ -- матрицы, $ {\alpha},\,{\beta}$ -- числа, 0 -- нулевая матрица.

Отметим, что перечисленные здесь свойства совпадают со свойствами векторов, из теоремы 10.1.