‹-- Назад

Определение, обозначения и типы матриц

        Определение 14.1   Матрицей размеров $ m\times n$ называется прямоугольная таблица чисел, содержащая $ m$ строк и $ n$ столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.        

Обычно принято обозначать матрицы большими буквами, а саму таблицу чисел заключать в круглые скобки. Например, $ A=\left(\begin{array}{rrr}3&1&9\\ 4&-1&0.7\end{array}\right)$  -- матрица размеров $ 2\times 3$ , $ B=\left(\begin{array}{r}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$  -- матрица размеров $ 3\times 1$ , или другими словами, матрица-столбец, $ C=\left(\begin{array}{rrrr}1&-1&2&4\end{array}
\right)$  -- матрица размеров $ 1\times 4$ , или матрица-строка.

Иногда вместо круглых скобок в записи матрицы используют квадратные или двойные прямые линии. Например, $ \left[\begin{array}{rr}3&2\\ 1&4\\ 1&0\end{array}\right]$ или $ \left\Vert\begin{array}{rr}1&2\\ -\pi&e\end{array}\right\Vert$ .

Если элементы матрицы обозначаются буквами, то для этого обозначения используется та же буква, что и для обозначения матрицы, только не большая, а малая, и эта буква снабжается двумя индексами. Например, матрицу размеров $ m\times n$ можно записать в виде

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_...
...2n}
\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{array}\right).$

В этой записи $ a_{ij}$ означает, что элемент находится в строке с номером $ i$ и столбце с номером $ j$ , то есть первый индекс указывает номер строки, а второй -- номер столбца. Например, в матрице

$\displaystyle B=\left(\begin{array}{rrrr}3&2&-1&-2\\ 4&-4&0.7&0\\ 0.2&\sqrt2&\sqrt3&-\sqrt3\end{array}
\right)$

$ b_{32}=\sqrt2$ , $ b_{24}=0$ .

Наряду с указанным обозначением элементов матрицы используется также обозначение $ a_j^i$ , в котором номер строки указывает верхний индекс, а номер столбца -- нижний.

Укажем основные типы матриц.

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Число строк или, что то же самое, число столбцов в ней называется порядком матрицы.

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. Нулевая матрица обозначается обычной цифрой 0. Как правило, из контекста ясно, является ли этот 0 числом или матрицей.

Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называется главной диагональю матрицы. Например, в матрице $ B=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&1\\ 0&3&-2\\
1&0&-4\end{array}\right)$ главную диагональ образуют числа $ \{1;3;-4\}$ . Отметим, что при обозначении элементов матрицы буквами с двумя индексами у элементов главной диагонали и только у них индексы будут равны друг другу. Так у квадратной матрицы $ A$ порядка $ n$ элементами главной диагонали являются элементы $ a_{ii}$ , $ i=1,2,\dots,n$ .

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Примеры диагональных матриц:

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}2&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&0.7\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{rr}0&0\\ 0&1\end{array}\right).$

Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все ее элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Например, верхние треугольные матрицы:

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}1&1&-2\\ 0&2&0\\ 0&0&4\end{array}\right),\quad\left(\begin{array}{rr}2&1\\ 0&3\end{array}\right).$

Нижние треугольные матрицы:

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}2&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&4\end{array}\right),\quad\left(\begin{array}{rr}0&0\\ -1&0\end{array}\right).$

Верхняя треугольная матрица иногда называется правой треугольной, а нижняя треугольная -- левой треугольной.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1. Для обозначения единичной матрицы обычно используется буква $ E$ . Порядок матрицы при этом обычно ясен из контекста. Например, $ {E=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right)}$  -- единичная матрица третьего порядка.

Из определения единичной матрицы видно, что ее элементы $ e_{ij}$ равны нулю, если индексы различны, и равны 1, если индексы совпадают. В математике таким свойством обладает величина $ {\delta}_j^i$ , называемая символом Кронекера:

$\displaystyle {\delta}_j^i=\left\{\begin{array}{ll}0&\mbox{при }i\ne j,\\ 1&\mbox{при }i=j.\end{array}\right.$

Поэтому $ e_{ij}={\delta}_j^i$ .

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и элементы, стоящие на одинаковых местах, равны друг другу.