‹-- Назад

Разложение вектора по базису

        Определение 10.10   Множество векторов на прямой назовем одномерным векторным пространством, множество векторов на плоскости -- двумерным векторным пространством, в пространстве -- трехмерным векторным пространством.         

Легко проверить, что если $ L$  -- какое-то векторное пространство, $ {\bf a},{\bf b}
\in L$ , $ {\alpha}$  -- число, то $ {{\bf a}+{\bf b}}\in L$ и $ {\alpha}{\bf a}\in L$ .

        Определение 10.11   Линейной комбинацией векторов $ {{{\bf a}}_1,\dots,
{{\bf a}}_s}$ с коэффициентами $ {\alpha}_1,\dots,{\alpha}_s$ называется вектор $ {\alpha}_1{{\bf a}}_1+
\ldots+{\alpha}_s {{\bf a}}_s$ .         




Рис.10.10.Примеры линейных комбинаций


Векторы d,f,g на рисунке 10.10 и $ {{\bf h}=0}$ являются линейными комбинациями векторов a,b,c: $ {{\bf d}}=2{{\bf a}}+(-1){{\bf b}}+(-3){\bf c}$ , $ {{\bf f}}=0\cdot {{\bf a}}+2{{\bf b}}+(-2){{\bf c}}$ , $ {{\bf g}}=1\cdot {{\bf a}}+0.5{{\bf b}}+3{{\bf c}}$ , $ {{\bf h}}=0\cdot {{\bf a}}+0\cdot {{\bf b}}+0\cdot {{\bf c}}$ .

Будем говорить, что вектор b раскладывается по векторам $ {{\bf a}}_1,\dots,{{\bf a}}_s$ , если b является линейной комбинацией этих векторов.

        Предложение 10.1   Если $ {{\bf a}}\ne 0$ , то любой вектор b, коллинеарный a, представим и причем единственным образом в виде $ {{{\bf b}}={\lambda}{{\bf a}}}$ , где $ {\lambda}$  -- число.

        Доказательство.     В соответствии с  определением 10.9 умножения вектора на число $ {{{\bf b}}=\left
(-\dfrac{\vert{{\bf b}}\vert}{\vert{{\bf a}}\vert}\right){{\bf a}}}$ , если b имеет направление, противоположное a, и $ {{{\bf b}}=\left(\dfrac{\vert{{\bf b}}\vert}{\vert{{\bf a}}\vert}\right)
{{\bf a}}}$ в противном случае. Таким образом, $ {{\lambda}=-\dfrac{\vert{{\bf b}}\vert}{\vert{{\bf a}}\vert}}$ или $ {{\lambda}=\dfrac{\vert{{\bf b}}\vert}{\vert{\bf a}\vert}}$ .     

        Замечание 10.2    Предложение 10.1 можно сформулировать следующим образом. Пусть $ L$  -- одномерное векторное пространство, $ {{\bf e}}_1$  -- система векторов пространства $ L$ , состоящая из одного ненулевого вектора. Тогда любой вектор из $ L$ раскладывается по этой системе векторов единственным образом.         

        Предложение 10.2   Пусть a и b два неколлинеарных вектора. Тогда любой вектор c, компланарный с векторами a и b, раскладывается по ним, причем единственным образом.

        Доказательство.    Заметим, что $ {{\bf a}}\ne 0$ и $ {{\bf b}}\ne 0$. Если вектор c коллинеарен вектору a или b, то в соответствии с  предложением 10.1 c будет представим в виде линейной комбинации векторов a и b, где, соответственно, коэффициент при b или a равен нулю.

Если вектор c не коллинеарен ни одному из векторов a и b, то проведем следующие построения. Передвинем векторы a,b и c параллельно самим себе так, чтобы их начала оказались в одной точке $ O$ . По векторам a и b проведем прямые $ l_1$ и $ l_2$ соответственно. Через конец вектора c проведем прямые параллельно векторам a и b до пересечения с прямыми $ l_1$ и $ l_2$ (рис. 10.11).




Рис.10.11.


Очевидно, что $ {{\bf c}}=\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}$ . Вектор $ \overrightarrow {OA}$ коллинеарен вектору a и в силу  предложения 10.1 $ {\overrightarrow {OA}={\alpha}{\bf a}}$ , где $ {\alpha}$  -- число. По тем же причинам $ {\overrightarrow {OB}={\beta}
{\bf b}}$ . Следовательно, $ {{{\bf c}}={\alpha}{{\bf a}}+{\beta}{{\bf b}}}$ , то есть вектор раскладывается по векторам a и b.     

        Замечание 10.3    Предложение 10.2 можно сформулировать следующим образом. Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ {{\bf e}}_1,{{\bf e}}_2$  -- система неколлинеарных векторов из $ L$ . Тогда любой вектор из $ L$ раскладывается по этой системе единственным образом.         

        Предложение 10.3   Пусть a,b и c -- некомпланарные векторы. Тогда любой вектор d раскладывается по этим векторам.

        Доказательство.     Среди векторов a,b,c нет пары коллинеарных, так как в противном случае векторы a,b,c были бы компланарны.

Если вектор d является компланарным с парой векторов a,c, парой b,c или парой a,c, то в силу  предложения 10.2 вектор d раскладывается по векторам a,b,c, где в соответствующей линейной комбинации один из коэффициентов окажется нулевым.

В общем случае выполним следующие построения. Передвинем векторы a,b,c,d параллельно самим себе так, чтобы их начала оказались в одной точке $ O$ . Через пару векторов a,b проведем плоскость $ {\bf П}_1$ , через пару b,c -- плоскость $ {\bf П}_2$ ,через пару a,c -- $ {\bf П}_3$ . Через конец вектора d проведем плоскости $ {\bf П}_4,{\bf П}_5,{\bf П}_6$ параллельно плоскостям $ {\bf П}_1,{\bf П}_2,
{\bf П}_3$ соответственно. Эти шесть плоскостей ограничивают параллелепипед, диагональю которого служит вектор d (рис. 10.12).




Рис.10.12.


Очевидно, что $ {{\bf d}}=\overrightarrow {OC_1}=\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OO_1}$ , $ {\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {OA}+
\overrightarrow {OB}}$ . Следовательно, $ {{\bf d}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OO_1}}$ . В силу  предложения 10.1 $ {\overrightarrow {OA}={\alpha}{\bf a}}$ , $ {\overrightarrow {OB}={\beta}
{\bf b}}$ , $ {\overrightarrow {OO_1}={\gamma}{\bf c}}$ . Поэтому $ {{\bf d}={\alpha}{{\bf a}}+{\beta}{{\bf b}}+{\gamma}{{\bf c}}}$ , то есть d раскладывается по векторам a,b,c.     

В соответствии с  предложением 10.3 и  замечаниями 10.2, 10.3 к  предложениям 10.1 и 10.2 можно сделать вывод, что в любом векторном пространстве любой размерности есть система векторов, по которой раскладывается каждый вектор пространства, причем единственным образом.

        Определение 10.12   Базисом векторного пространства $ L$ будем называть упорядоченную систему векторов пространства, состоящую: из одного ненулевого вектора, если пространство одномерное; из двух неколлинеарных векторов, если пространство двумерное; из трех некомпланарных векторов, если пространство трехмерное.         

Очевидно, что в любом векторном пространстве можно выбрать бесконечно много базисов, число векторов в каждом из них равно размерности пространства.

Слова "упорядоченная система векторов" означают, что указан порядок перечисления векторов.

        Определение 10.13   Координатами (или компонентами) вектора a в базисе $ {\bf e}_1\dots{\bf e}_s$ называются коэффициенты разложения вектора a по векторам базиса.         

Для указания, что вектор a имеет координаты $ {\alpha}_1,\dots {\alpha}_s$ , мы будем использовать запись $ {{\bf a}=({\alpha}_1,\dots {\alpha}_s)}$ .

Очевидно, что в фиксированном базисе каждый вектор имеет свой, единственный, набор координат. Если же взять другой базис, то координаты вектора в общем случае изменятся.

Сложение векторов и умножение их на число связаны с аналогичными действиями с их координатами. Доказательство соответствующих предложений для простоты записи проведем для случая двумерного пространства. Читатель без труда повторит их для пространства любой размерности.

        Предложение 10.4   При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

        Доказательство.     Пусть $ {{\bf a}=({\alpha}_1,{\alpha}_2)}$, то есть $ {{\bf a}={\alpha}_1{\bf e}_1+{\alpha}_2{\bf e}_2}$ . Тогда $ {\lambda}{\bf a}=
{\lambda}({\alpha}_1{\bf e}_1+{\alpha}_2{\bf e}_2)=({\lambda}{\alpha}_1){\bf e}_1+({\lambda}{\alpha}_2){\bf e}_2$ . Так как последняя запись дает разложение вектора $ {\lambda}{\bf a}$ по векторам базиса $ {\bf e}_1,{\bf e}_2$ , то произведения $ {\lambda}{\alpha}_1$ , $ {\lambda}{\alpha}_2$ являются координатами вектора $ {\lambda}{\bf a}$ , $ {{\lambda}{\bf a}=({\lambda}{\alpha}_1,{\lambda}{\alpha}_2)}$ .     

        Предложение 10.5   При сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

        Доказательство.     Пусть $ {{\bf a}=({\alpha}_1,{\alpha}_2)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2)}$ . Тогда $ {{\bf a}={\alpha}_1{\bf e}_1+{\alpha}_2{\bf e}_2}$ , $ {{\bf b}={\beta}_1{\bf e}_1+{\beta}_2{\bf e}_2}$ ,

$\displaystyle {\bf a}+{\bf b}=(
{\alpha}_1{\bf e}_1+{\alpha}_2{\bf e}_2)+({\be...
..._2{\bf e}_2)=({\alpha}_1+{\beta}_1){\bf e}_1+
({\alpha}_2+{\beta}_2){\bf e}_2,$

то есть $ {{\bf a}+{\bf b}=({\alpha}_1+{\beta}_1, {\alpha}_2+{\beta}_2)}$ .     



Упражнение10.3.1. Докажите, что все координаты нулевого вектора в любом базисе равны нулю.     



Упражнение10.3.2. Докажите, что базисный вектор с номером $ s$ имеет координату с номером $ s$ , равную 1, а все остальные координаты -- нулевые.     



Упражнение10.3.3. Докажите, что координаты разности векторов равны разностям координат.     

Рассмотрим пример на нахождение координат вектора.

Задача. Даны векторы $ {\overrightarrow {OA}={\bf a}}$ , $ {\overrightarrow {OB}={\bf b}}$ . Вектор $ {\overrightarrow {OC}={\bf c}}$  -- медиана треугольника $ OAB$ . Найдите координаты вектора a в базисе b, c.

Решение. Сначала рассмотрим геометрическое решение (рис. 10.13).




Рис.10.13.Геометрическое разложение вектора


Проведем через конец вектора a прямую параллельно вектору b до пересечения с продолжением вектора c. Получим точку пересечения $ D$ . Легко видеть, что $ {\overrightarrow {OD}=2{\bf c}}$ , $ {\overrightarrow {AD}={\bf b}}$ . Проведем через точку $ A$ прямую параллельно вектору c до пересечения с продолжением вектора b. Получим точку $ F$ . Очевидно, что $ {\vert OF\vert=\vert AD\vert}$ , то есть $ {\overrightarrow {OF}=-{\bf b}}$ . Таким образом, $ {\bf a}=\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {OF}=2{\bf c}+(-{\bf b})=(-1){\bf b}+2{\bf c}$ . Получим $ {{\bf a}=(-1;2)}$ .

Аналитическое решение. Получим какое-нибудь уравнение, связывающее векторы a, b, c. Для этого достроим треугольник $ OAB$ до параллелограмма (рис. 10.14).




Рис.10.14.


Тогда $ \overrightarrow {OD}=2{\bf c}$ , $ \overrightarrow {OD}={\bf a}+{\bf b}$ . Получим равенство $ {2{\bf c}={\bf a}+{\bf b}}$ . Откуда $ {{\bf a}=-{\bf b}+2{\bf c}}$ , то есть $ {{\bf a}=(-1;2)}$ .
Ответ: $ {\bf a}=(-1;2)$ .