‹-- Назад

Параллельный перенос системы координат

Так же как и на плоскости, в пространстве можно выполнить параллельный перенос системы координат. Формулы и их доказательства для пространственного случая аналогичны плоскому случаю (пункт 3.5).

Пусть в пространстве заданы две декартовы прямоугольные системы координат: "старая" с началом в точке $ O$ и осями $ Ox$ , $ Oy$ , $ Oz$ и "новая" с началом в точке $ O_1$ и осями $ O_1\tilde x$ , $ O_1\tilde y$ , $ O_1\tilde z$ , причем оси одной системы координат соответствено параллельны осям другой системы и одинаково с ними направлены. Будем говорить, что вторая система координат получена из первой параллельным переносом.

Пусть начало $ O_1$ новой системы координат имеет в старой системе координаты $ (x_1;y_1;z_1)$ . Пусть $ M$  -- некоторая точка пространства с координатами $ (x;y;z)$ в старой системе координат и $ (\tilde x;\tilde y;\tilde z)$  -- в новой системе координат. Тогда связь между "старыми" и "новыми" координатами точки $ M$ задается формулами, аналогичными формулам (12.11):

$\displaystyle \tilde x=x-x_1,\quad\tilde y=y-y_1,\quad\tilde z=z-z_1.$ (13.21)

Справедливо и предложение, аналогичное предложению 12.7.

        Предложение 13.1   Пусть некоторая поверхность задана уравнением

$\displaystyle F(x-x_1;y-y_1;z-z_1)=0.$

Тогда в системе координат с началом в точке $ O_1(x_1;y_1;z_1)$ и осями $ O_1\tilde x$ , $ O_1\tilde y$ , $ O_1\tilde z$ , полученной параллельным переносом, уравнение поверхности будет иметь вид $ {F(\tilde x;
\tilde y;\tilde z)=0}$ .    

        Пример 13.2   Нарисуйте поверхность $ 4x^2-y^2+z^2+8x-4y-2z=3$ .

Решение. Выделим полные квадраты по переменным $ x$ , $ y$ и $ z$ (см. пример 12.1):

$\displaystyle 4(x^2+2x+1)-4-(y^2+4y+4)+4+(z^2-2z+1)-1=3.$

Отсюда

$\displaystyle 4(x+1)^2-(y+2)^2+(z-1)^2=4.$

Разделим обе части на 4:

$\displaystyle \frac{(x+1)^2}{1^2}-\frac{(y+2)^2}{2^2}+\frac{(z-1)^2}{2^2}=1.$

Введем новую систему координат с началом в точке $ O_1(-1;-2;1)$ , получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению 13.1 получим, что в новой системе поверхность задается уравнением

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}+\frac{\tilde z^2}{2^2}=1.$

Данное уравнение отличается от канонического уравнения однополостного гиперболоида тем, что поменялись ролями оси ординат ( $ O_1\tilde y$ ) и аппликат ( $ O_1\tilde z$ ). Не переобозначая осей, произведем построение поверхности с помощью сечений. В сечении плоскостью $ \tilde xO_1\tilde z$ получаем эллипс с уравнением

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}+\frac{\tilde z^2}{2^2}=1.$

Его полуоси равны 1 и 2 и лежат соответственно на осях $ O_1\tilde x$ и $ O_1\tilde y$ . В сечении плоскостью $ \tilde xO_1\tilde y$ получаем гиперболу с уравнением

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}=1.$

Ее мнимая ось лежит на оси $ O_1\tilde y$ , а действительная ось лежит на оси $ O_1\tilde x$ , полуоси соответственно равны 2 и 1. В сечении плоскостью $ \tilde yO_1\tilde z$ получаем равностороннюю гиперболу с уравнением

$\displaystyle \frac{\tilde z^2}{2^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}=1.$

Ее мнимая ось лежит на оси $ O_1\tilde y$ , а действительная ось лежит на оси $ O_1\tilde z$ , обе полуоси равны 2. Для большей наглядности нарисуем еще два сечения плоскостями параллельными плоскости $ \tilde xO_1\tilde z$ . В сечениях получим эллипсы, подобные эллипсу в плоскости $ \tilde xO_1\tilde z$ . По рассмотренным сечениям можно представить себе форму гиперболоида и его расположение в пространстве (рис. 13.33). Объемное изображение приведено на рис. 13.34.




Рис.13.33.Изображение поверхности с помощью сечений





Рис.13.34.Объемное изображение поверхности