‹-- Назад

Цилиндры

        Определение 13.9   Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые -- образующими.         

Рассмотрим уравнение вида

$\displaystyle F(x,y)=0$ (13.17)

и покажем, что оно определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси $ Oz$ . Пусть $ M_0 (x_0;y_0;z_0)$  -- некоторая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (13.17). Поскольку в это уравнение не входит явно переменная $ z$ , ему будут удовлетворять координаты всех точек $ M(x_0;y_0;z)$ , где $ z$  -- любое число. Следовательно, при любом $ z$ точка $ M$ лежит на поверхности, определяемой уравнением (13.17). Отсюда следует, что на поверхности целиком лежит прямая, проходящая через точку $ M_0$ параллельно оси $ Oz$ . А это означает, что поверхность, определяемая уравнением (13.17), составлена из прямых, параллельных оси $ Oz$ , то есть она является цилиндрической поверхностью.

Заметим, что на плоскости $ xOy$ уравнение (13.17) определяет направляющую рассматриваемой цилиндрической поверхности.

Итак, делаем вывод, что если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой-либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение.

Нас будут интересовать только те цилиндрические поверхности, которые являются поверхностями второго порядка, а это значит, что уравнение  (13.17), их задающее будет иметь вид (13.1).

        Определение 13.10   Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ (13.18)

называется эллиптическим цилиндром, поверхность, которая задается уравнением

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,$ (13.19)

называется гиперболическим цилиндром, а которая задается уравнением

$\displaystyle y^2=2px,$ (13.20)

называется параболическим цилиндром.         

Для того чтобы построить поверхность, задаваемую уравнением (13.18), или уравнением (13.19), или (13.20), достаточно нарисовать на плоскости $ xOy$ направляющую, уравнение которой на этой плоскости совпадает с уравнением самой поверхности, и затем через точки направляющей провести образующие параллельно оси $ Oz$ . Для наглядности следует построить также одно-два сечения плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ . В каждом таком сечении получим такую же кривую, как и исходная направляющая. Изображения этих цилиндров сечениями приведены на рисунках 13.27, 13.29 и 13.31, а их объемные изображения -- на рисунках 13.28, 13.30 и 13.32.




Рис.13.27.Изображение эллиптического цилиндра с помощью сечений





Рис.13.28.Эллиптический цилиндр





Рис.13.29.Изображение гипербоического цилиндра с помощью сечений





Рис.13.30.Гиперболический цилиндр





Рис.13.31.Изображение параболического цилиндра с помощью сечений





Рис.13.32.Параболический цилиндр