‹-- Назад

Параболоиды

        Определение 13.7   Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

$\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2},$ (13.13)

где $ a$ и $ b$ -- положительные числа.         

Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости $ xOz$ , $ yOz$ и координатная ось $ Oz$ .

Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0.$

Координаты только одной точки плоскости $ xOy$ могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle z=\frac{y^2}{b^2}.$

Это уравнение параболы на плоскости $ yOz$ . Построим ее (рис. 13.19). Сечение плоскостью $ xOz$ также является параболой. Нарисуем и ее (рис. 13.19). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью $ {z=h}$ . Уравнения этой линии

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=h,\\
z=h.
\end{array}\right.$

Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если $ {h=0}$ . Эта точка называется вершиной параболоида.

Пусть $ h>0$ . Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2h}+
\frac{y^2}{b^2h}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$ (13.14)

где $ a_1=a\sqrt h$ , $ b_1=b\sqrt h$ . Уравнение (13.14) является уравнением эллипса. Нарисуем полученное сечение (рис. 13.19). При $ h<0$ плоскость поверхность не пересекает.




Рис.13.19.Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями


Найдем сечения параболоида плоскостями $ z=\pm m$ , параллельными плоскости $ xOz$ . Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{m^2}{b^2},\\
y=\pm m,
\end{array}\right.$

и являются параболами, такими же, как в плоскости $ xOz$ , только сдвинутыми вверх на величину $ \frac{m^2}{b^2}$ , их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью $ yOz$ (рис. 13.20).




Рис.13.20.Дополнительные сечения параболоида


Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости $ xOz$ . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости $ xOz$ , а вершина скользила по параболе в плоскости $ yOz$ .

Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.21.




Рис.13.21.Эллиптический параболоид


Если в уравнении (13.13) $ {a=b}$ , то сечения плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ (рис. 13.22).




Рис.13.22.Параболоид вращения


        Определение 13.8   Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

$\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2},$ (13.15)

где $ a$ и $ b$ -- положительные числа.         

Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости $ xOz$ , $ yOz$ и координатная ось $ Oz$ .

Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0.$

Это уравнение определяет на плоскости $ xOy$ пару прямых $ {y=\pm\frac bax}$ , изображенных на рисунке 13.23.

Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle z=-\frac{y^2}{b^2}.$

Это уравнение на плоскости $ yOz$ задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 13.23). Сечение плоскостью $ xOz$ также является параболой

$\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2},$

но ее ветви направлены вверх. Нарисуем и ее (рис. 13.23).




Рис.13.23.Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями


Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью $ {z=-h}$ , $ h>0$ . Уравнения этой линии

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
-\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=h,\\
z=-h.
\end{array}\right.$

Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{y^2}{b^2h}-
\frac{x^2}{b^2h}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{y^2}{b_1^2}-\frac{x^2}{a_1^2}=1,$ (13.16)

где $ a_1=a\sqrt h$ , $ b_1=b\sqrt h$ . Уравнение (13.16) является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси $ Oy$ , а мнимая -- оси $ Ox$ . Полуоси равны соответственно $ a_1$ и $ b_1$ . Нарисуем полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем (рис. 13.24).

Найдем линии пересечения с плоскостями $ x=\pm m$ , параллельными плоскости $ yOz$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
z=\dfrac{m^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2},\\
x=\pm m.
\end{array}\right.$

Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью $ yOz$ , только сдвинутой вдоль оси $ Oz$ на величину $ \frac{m^2}{a^2}$ вверх. Эти параболы изображены на рисунке 13.24.




Рис.13.24.Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений


Так как $ m$ -- произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости $ yOz$ . Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости $ yOz$ , а вершина скользила по параболе в плоскости $ xOz$ .

Плоскость $ z=h$ , $ h>0$ , пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы (13.16), ее действительная ось параллельна теперь оси $ Ox$ , а мнимая -- оси $ Oy$ (рис. 13.25).




Рис.13.25.Дополнительное сечение


Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.26.




Рис.13.26.Гиперболический параболоид