‹-- Назад

Конус

        Определение 13.6   Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0,$ (13.10)

где $ a$ , $ b$ , $ c$  -- положительные числа.         

        Замечание 13.1   С математической точки зрения поверхность (13.10) лучше определять с помощью уравнения

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2,$ (13.11)

так как в нем меньше параметров, но при этом, во-первых, теряется аналогия с уравнениями предыдущих поверхностей, а во-вторых, если считать, что величины $ a$ , $ b$ , $ x$ , $ y$ , $ z$ имеют размерность длины, то в уравнении (13.11) размерности правой и левой части не согласуются.         

Для краткости в дальнейшем конус второго порядка будем называть просто конус. Исследуем форму конуса. Так же, как эллипсоид и гиперболоиды, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения конуса найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0.$

Координаты только одной точки плоскости $ xOy$ могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle -\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

Это уравнение пары прямых $ {z=\pm\frac cby}$ на плоскости $ yOz$ . Построим эти прямые (рис. 13.16). Сечение плоскостью $ xOz$ также является парой прямых с уравнением $ {z=\pm\frac cax}$ . Нарисуем и эти прямые (рис. 13.16).




Рис.13.16.Сечения конуса координатными плоскостями


Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями $ {z=\pm h}$ , $ h>0$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{h^2}{c^2},\\
z=\pm h.
\end{array}\right.$

Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{\left(\frac{a^2h^2}{c^2}\right)}+
\frac{y^2}{\left(\frac{b^2h^2}{c^2}\right)}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$ (13.12)

где $ a_1=\frac{ah}{c}$ , $ b_1=\frac{bh}{c}$ . Уравнение (13.12) является уравнением эллипса. Нарисуем полученные сечения (рис. 13.17).




Рис.13.17.Изображение конуса с помощью сечений


Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.18.




Рис.13.18.Конус


Точка пересечения конуса с плоскостью $ xOy$ называется вершиной конуса.

Если в уравнении (13.10) $ {a=b}$ , то сечения конуса плоскостями параллельными плоскости $ xOy$ являются окружностями. В этом случае поверхность называется прямым круговым конусом и может быть получена вращением прямой, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ . Именно с таким конусом мы имеем дело в школьном курсе математики.