‹-- Назад

Гиперболоиды

        Определение 13.4   Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,$ (13.6)

где $ a$ , $ b$ , $ c$  -- положительные числа.         

Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Это уравнение на плоскости $ xOy$ задает эллипс с полуосями $ a$ и $ b$ (рис. 13.8). Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$

Это уравнение гиперболы на плоскости $ yOz$ , где действительная полуось равна $ b$ , а мнимая полуось равна $ c$ . Построим эту гиперболу (рис. 13.8).




Рис.13.8.Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями


Сечение плоскостью $ xOz$ также является гиперболой с уравнением

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью $ yOz$ (рис. 13.9).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями $ {z=\pm h}$ , $ h>0$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1+\dfrac{h^2}{c^2},\\
z=\pm h.
\end{array}\right.$

Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2\left(1+\frac{h^2}{c^2}\right)}+
\frac{y^2}{b^2\left(1+\frac{h^2}{c^2}\right)}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$ (13.7)

где $ a_1=a\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}$ , $ b_1=b\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}$ . Уравнение (13.7) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости $ xOy$ , с коэффициентом подобия $ \sqrt{1+\frac
{h^2}{c^2}}$ и полуосями $ a_1$ и $ b_1$ . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.9).




Рис.13.9.Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений


Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рисунке 13.10.




Рис.13.10.Однополостный гиперболоид


Если в уравнении (13.6) $ {a=b}$ , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ (рис. 13.11).




Рис.13.11.Однополостный гиперболоид вращения


        Определение 13.5   Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

$\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$ (13.8)

где $ a$ , $ b$ , $ c$  -- положительные числа.         

Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$

Координаты ни одной точки плоскости $ xOy$ не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle -\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

Это уравнение гиперболы на плоскости $ yOz$ , где действительная полуось равна $ c$ , а мнимая полуось равна $ b$ . Построим эту гиперболу (рис. 13.12).




Рис.13.12.Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью $ yOz$


Сечение плоскостью $ xOz$ также является гиперболой, с уравнением

$\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью $ yOz$ (рис. 13.13).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями $ {z=\pm h}$ , $ h>0$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{h^2}{c^2}-1,\\
z=\pm h.
\end{array}\right.$

Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если $ {\vert h\vert<c}$ . Если $ {h=c}$ или $ {h=-c}$ , то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку $ (0;0;c)$ или $ (0;0;-c)$ . Эти точки называются вершинами гиперболоида.

Пусть $ \vert h\vert>c$ . Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2\left(\frac{h^2}{c^2}-1\right)}+
\frac{y^2}{b^2\left(\frac{h^2}{c^2}-1\right)}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$ (13.9)

где $ a_1=a\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}$ , $ b_1=b\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}$ . Уравнение (13.9) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости $ xOy$ , с коэффициентом подобия $ \sqrt{\frac
{h^2}{c^2}-1}$ и полуосями $ a_1$ и $ b_1$ . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.13).




Рис.13.13.Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений


Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке 13.14.




Рис.13.14.Двуполостный гиперболоид


Если в уравнении (13.8) $ {a=b}$ , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ (рис 4.15).




Рис.13.15.Двуполостный гиперболоид вращения