‹-- Назад

Парабола

В школьном курсе математики достаточно подробно изучалась парабола, которая, по определению, являлась графиком квадратного трехчлена. Здесь мы дадим другое (геометрическое) определение параболы.

        Определение 12.7   Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.         

Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса $ F$ опустим перпендикуляр $ FD$ на директрису $ l$ . Начало координат $ O$ расположим на середине отрезка $ FD$ , ось $ Ox$ направим вдоль отрезка $ FD$ так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора $ \overrightarrow {FD}$ . Ось $ Oy$ проведем перпендикулярно оси $ Ox$ (рис. 12.15).




Рис.12.15.


        Теорема 12.4   Пусть расстояние между фокусом $ F$ и директрисой $ l$ параболы равно $ p$ . Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение

$\displaystyle y^2=2px.$ (12.10)

        Доказательство.     В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка $ F\left(\frac
p2,0\right)$ , а директриса имеет уравнение $ {x=-\frac p2}$ (рис. 12.15).

Пусть $ M(x;y)$  -- текущая точка параболы. Тогда по формуле (10.4) для плоского случая находим

$\displaystyle FM=\sqrt{\left(x-\frac p2\right)^2+(y-0)^2}=\sqrt{\left(x-\frac p2\right)^2
+y^2}.$

Расстоянием от точки $ M$ до директрисы $ l$ служит длина перпендикуляра $ MK$ , опущенного на директрису из точки $ M$ . Из рисунка 12.15 очевидно, что $ {MK=x+\frac p2}$ . Тогда по определению параболы $ {MK=FM}$ , то есть

$\displaystyle x+\frac p2=\sqrt{\left(x-\frac p2\right)^2+y^2}.$

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

$\displaystyle \left(x+\frac p2\right)^2=\left(x-\frac p2\right)^2+y^2,$

откуда

$\displaystyle x^2+px+\frac{p^2}4=x^2-px+\frac{p^2}4+y^2.$

После приведения подобных членов получим уравнение (12.10).     

Уравнение (12.10) называется каноническим уравнением параболы.

        Предложение 12.4   Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью $ Ox$ .

        Доказательство.     Проводится так же, как и доказательство  (предложения 12.1).     

Точка пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной параболы.

Если переобозначить переменные $ \tilde x=y$ , $ \tilde y=x$ , то уравнение (12.10) можно записать в виде

$\displaystyle \tilde y=\frac1{2p}\tilde x^2,$

который совпадает с обычным уравнением параболы в школьном курсе математики. Поэтому параболу нарисуем без дополнительных исследований (рис. 12.16).




Рис.12.16.Парабола


        Пример 12.6   Постройте параболу $ y^2=3x$ . Найдите ее фокус и директрису.

Решение. Уравнение является каноническим уравнением параболы, $ {2p=3}$ , $ {p=1.5}$ . Осью параболы служит ось $ Ox$ , вершина находится в начале координат, ветви параболы направлены вдоль оси $ Ox$ . Для построения найдем несколько точек параболы. Для этого придаем значения переменному $ y$ и находим значения $ x$ . Возьмем точки $ \left(\frac13;1\right)$ , $ \left(\frac43;2\right)$ , $ (3;3)$ . Учитывая симметрию относительно оси $ Ox$ , рисуем кривую (рис. 12.17)




Рис.12.17.Парабола, заданная уравнением $ y^2=3x$


Фокус $ F$ лежит на оси $ Ox$ на расстоянии $ \frac p2$ от вершины, то есть имеет координаты $ (0.75;0)$ . Директриса $ l$ имеет уравнение $ {x=-\frac p2}$ , то есть $ x=-0.75$ .         

Парабола так же, как и эллипс, обладает свойством, связанным с отражением света (рис. 12.18). Свойство сформулируем опять без доказательства.

        Предложение 12.5   Пусть $ F$  -- фокус параболы, $ M$  -- произвольная точка параболы, $ l$  -- луч с началом в точке $ M$ параллельный оси параболы. Тогда нормаль к параболе в точке $ M$ делит угол, образованный отрезком $ FM$ и лучом $ l$ , пополам.     




Рис.12.18.Отражение светового луча от параболы


Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса $ F$ , отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.