‹-- Назад

Операции над векторами

В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

        Определение 10.6   Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю (рис. 10.2).         




Рис.10.2.Сложение векторов


Сложение векторов в соответствии с рисунком 10.2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 1.3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.




Рис.10.3.Правило треугольника


        Определение 10.7   Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и $ {\vert{\bf a}\vert=\vert{\bf b}\vert}$ .         

Вектор, противоположный вектору a, обозначается $ -{\bf a}$ , то есть $ {\overrightarrow {AB}=-\overrightarrow {BA}}$ .

        Определение 10.8   Разностью векторов a и b называется сумма $ {\bf a}+(-{\bf b})$ .         

Разность обозначается $ {\bf a}-{\bf b}$ , то есть $ {{\bf a}-{\bf b}={\bf a}+(-{\bf b})}$ .

        Определение 10.9   Произведением вектора a на вещественное число $ {\alpha}$ называется вектор b, определяемый условием

1) $ {\vert{\bf b}\vert=\vert{\alpha}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert}$
и, если $ \vert{\bf b}\vert\ne 0$ , то еще двумя условиями:

2) вектор b коллинеарен вектору a;

3) векторы b и a направлены одинаково, если $ {\alpha}>0$ , и противоположно, если $ {\alpha}<0$ .         

Произведение вектора a на число $ {\alpha}$ обозначается $ {\alpha}{\bf a}$ (рис 1.4).




Рис.10.4.Умножение вектора на число


        Замечание 10.1   Когда речь идет о связи векторов с числами, то иногда числа называют скалярами. Таким образом,  определение 10.9 задает умножение вектора на скаляр.         

Рассмотрим некоторые свойства операций сложения и умножения вектора на число. Часть из них, которые будут особенно важны при обобщении понятия вектора, выделим в отдельную теорему.

        Теорема 10.1   Для любых векторов $ {\bf a},{\bf b},{\bf c}$ и любых вещественных чисел $ {\alpha},{\beta}$ выполняются следующие свойства:
1) $ {\bf a}+{\bf b}={\bf b}+{\bf a}$ (свойство коммутативности операции сложения);
2) $ ({\bf a}+{\bf b})+{\bf c}={\bf a}+({\bf b}+{\bf c})$ (свойство ассоциативности операции сложения);
3) $ {{\bf a}}+0={\bf a}$ ;
4) $ {{\bf a}+(- {\bf a})}=0$ ;
5) $ {\alpha}({\beta}{\bf a})=({\alpha}{\beta}){\bf a}$ (свойство ассоциативности по отношению к числам);
6) $ {\alpha}({\bf a}+{\bf b})={\alpha}{\bf a}+{\alpha}{\bf b}$ (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число);
7) $ ({\alpha}+{\beta}){\bf a}={\alpha}{\bf a}+{\beta}{\bf a}$ (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор;
8) $ 1\cdot{\bf a}={\bf a}$ .

        Доказательство.     Свойство 1 следует из того, что при сложении векторов по правилу параллелограмма (рис. 10.2) порядок слагаемых не влияет на построение параллелограмма. Доказательство свойства 2 следует из рисунка 10.5.




Рис.10.5.Ассоциативность сложения


Свойства 3 и 4 очевидны при сложении векторов по правилу треугольника.

Докажем свойство 5. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, имеют одинаковую длину $ \vert{\alpha}\vert\cdot\vert{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert$ . Если это произведение равно нулю, то векторы в правой и левой частях доказываемого равенства нулевые и, следовательно, равны друг другу. В противном случае векторы $ {\alpha}({\beta}{\bf a})$ и $ ({\alpha}{\beta}){\bf a}$ коллинеарны вектору a и имеют с ним одинаковое направление, если числа $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ одного знака, и направление, противоположное вектору a, если $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ разного знака. Следовательно, $ {{\alpha}({\beta}{\bf a})=({\alpha}{\beta})
{\bf a}}$ .

Свойство 6 очевидно, если $ {{\alpha}=0}$ . Если $ {\alpha}<0$ и векторы a и b неколлинеарны, то это свойство вытекает из подобия треугольников на рисунке 10.6.




Рис.10.6.Свойство дистрибутивности


Случаи, когда $ {\alpha}>0$ или a и b коллинеарны, предоставляем проанализировать читателю самостоятельно.

Для доказательства свойства 7 заметим, что векторы $ {{\bf f}=({\alpha}+{\beta}){\bf a}}$ и $ {{\bf g}={\alpha}{\bf a}+{\beta}{\bf a}}$ коллинеарны. Без ограничения общности можно считать, что $ \vert{\alpha}\vert\geqslant \vert{\beta}\vert$ (в противном случае поменяем местами $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ в доказываемом равенстве).

Пусть $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ одного знака. Тогда $ \vert{\bf f}\vert=\vert{\alpha}+{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert=
(\vert{\alpha}\vert+\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert$ , $ {\bf g}=\vert{\alpha}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert+\vert{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert=
(\vert{\alpha}\vert+\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert$ .

Пусть $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ имеют разные знаки. Тогда $ {\vert{\bf f}\vert=(\vert{\alpha}\vert-\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert}$ , $ \vert{\bf g}\vert=\vert{\alpha}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert-\vert{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert=(\vert{\alpha}\vert-\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert$ . Получили, что $ {\vert{\bf f}\vert=\vert{\bf g}\vert}$ в обоих случаях.

Векторы f и g имеют одно направление. Оно совпадает с направлением a при $ {\alpha}>0$ и противоположно при $ {\alpha}<0$ . Следовательно, $ {{\bf f}={\bf g}
}$ . Свойство 7 доказано.

Свойство 8 очевидным образом вытекает из  определения 10.9 произведения вектора на число.     

Из свойства ассоциативности следует, что в сумме векторов, содержащей три и более слагаемых, можно скобки не ставить. Как найти сумму нескольких слагаемых, не используя попарных сумм, видно из рисунка 10.7.




Рис.10.7.Сумма нескольких слагаемых


Сформулируем еще несколько очевидных свойств операций сложения и умножения вектора на число:
9) равенство $ {\alpha}{{\bf a}}=0$ верно тогда и только тогда, когда или $ {{\alpha}=0}$ , или $ {{\bf a}=0}$ ;
10) вектор, противоположный вектору a, равен $ (-1)\cdot{\bf a}$ , то есть $ {-{\bf a}=(-1)\cdot{\bf a}}$ ;
11) для любых векторов a и b существует такой вектор x, что $ {{\bf a}+ {\bf x}={\bf b}}$ .