‹-- Назад

Гипербола

Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением $ {y=\frac kx}$ , где $ k$  -- число, называется гиперболой. Однако это -- частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола).

        Определение 12.5   Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.         

Так же, как и в случае эллипса, для получения уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось $ Ox$ направим вдоль этого отрезка, а ось ординат -- перпендикулярно к нему.

        Теорема 12.3   Пусть расстояние между фокусами $ F_1$ и $ F_2$ гиперболы равно $ 2c$ , а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна $ 2a$ . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,$ (12.8)

где

$\displaystyle b=\sqrt{c^2-a^2}.$ (12.9)

        Доказательство.     Пусть $ M(x;y)$  -- текущая точка гиперболы (рис. 12.9).




Рис.12.9.


Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то $ {\vert F_1M-F_2M\vert<F_1F_2}$ , то есть $ 2a<2c$ , $ a<c$ . В силу последнего неравенства вещественное число $ b$ , определяемое формулой (12.9), существует.

По условию, фокусы -- $ F_1(-c;0)$ , $ F_2(c;0)$ . По формуле (10.4) для случая плоскости получаем

$\displaystyle F_1M=\sqrt{(x+c)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x+c)^2+y^2},\quad F_2M=\sqrt{(x-c)^2
+y^2}.$

По определению гиперболы

$\displaystyle \left\vert\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\right\vert=2a.$

Это уравнение запишем в виде

$\displaystyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\pm2a.$

Обе части возведем в квадрат:

$\displaystyle x^2+2xc+c^2+y^2=x^2-2xc+c^2+y^2\pm4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+4a^2.$

После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству

$\displaystyle xc-a^2=\pm a\sqrt{(x-c)^2+y^2}.$

Опять обе части возведем в квадрат:

% latex2html id marker 47405
$\displaystyle x^2c^2-2xca^2+a^4=a^2(x^2-2xc+c^2+y^2).$

Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим

$\displaystyle x^2(c^2-a^2)-a^2y^2=a^2(c^2-a^2).$

С учетом формулы (12.9) уравнение принимает вид

$\displaystyle x^2b^2-a^2y^2=a^2b^2.$

Разделим обе части уравнения на $ a^2b^2$ и получим уравнение (12.8)     

Уравнение (12.8) называется каноническим уравнением гиперболы.

        Предложение 12.3   Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат координатные оси $ Ox$ и $ Oy$ , а начало координат -- центр симметрии гиперболы.

        Доказательство.     Проводится аналогично доказательству предложения 12.1.     

Проведем построение гиперболы, заданной уравнением (12.8). Заметим, что из-за симметрии достаточно построить кривую только в первом координатном угле. Выразим из канонического уравнения $ y$ как функцию $ x$ , при условии, что $ y>0$ ,

$\displaystyle y=\frac ba\sqrt{x^2-a^2}$

и построим график этой функции.

Область определения -- интервал $ [a;+\infty)$ , $ y(a)=0$ , функция монотонно растет. Производная

$\displaystyle y'=\frac ba\frac x{\sqrt{x^2-a^2}}$

существует во всей области определения, кроме точки $ a$ . Следовательно, график -- гладкая кривая (без углов). Вторая производная

$\displaystyle y''=-\frac{ab}{(\sqrt{x^2-a^2})^3}$

во всех точках интервала $ (a;+\infty)$ отрицательна, следовательно, график -- выпуклый вверх.

Проверим график на наличие асимптоты при $ x\rightarrow +\infty$ . Пусть асимптота имеет уравнение $ {y={\alpha}x+{\beta}}$ . Тогда по правилам математического анализа

$\displaystyle {\alpha}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\frac ba\sqrt{x^2-a^2}}x=\frac ba
\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}=\frac ba,$

$\displaystyle {\beta}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac ba\sqrt{x^2-a^2}-{...
...a^2}-\frac ba x\right)=
\frac ba\lim_{x\rightarrow +\infty}(\sqrt{x^2-a^2}-x).$

Выражение под знаком предела домножим и разделим на $ {\sqrt{x^2-a^2}+x}$ . Получим

$\displaystyle {\beta}=\frac ba\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2-a^2-x^2}{\sqrt{x^2-a^2}+x}=
-ab\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac 1{\sqrt{x^2-a^2}+x}=0.$

Итак, график функции имеет асимптоту $ y=\frac bax$ . Из симметрии гиперболы следует, что $ {y=-\frac bax}$  -- тоже асимптота. Остается неясным характер кривой в окрестности точки $ (a;0)$ , а именно, образует ли график $ {y=\frac ba\sqrt{x^2-a^2}}$ и симметричная ему относительно оси $ Ox$ часть гиперболы в этой точке угол или гипербола в этой точке -- гладкая кривая (есть касательная). Для решения этого вопроса выразим из уравнения (12.8) $ x$ через $ y$ :

$\displaystyle x=\frac ab\sqrt{y^2+b^2}.$

Очевидно, что данная функция имеет производную в точке $ {y=0}$ , $ {x'(0)=0}$ , и в точке $ (a;0)$ у гиперболы есть вертикальная касательная. По полученным данным рисуем график функции $ y=\frac ba\sqrt{x^2-a^2} $ (рис. 12.10).




Рис.12.10.График функции $ y=\frac ba\sqrt{x^2-a^2} $


Окончательно, используя симметрию гиперболы, получаем кривую рисунка 12.11.




Рис.12.11.Гипербола


        Определение 12.6   Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением (12.8), с осью $ Ox$ называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками $ (0;-b)$ и $ (0;b)$ называется мнимой осью. Числа $ a$ и $ b$ называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром. Величина $ {{\varepsilon}=\dfrac ca}$ называется эксцентриситетом гиперболы.         

        Замечание 12.3   Из равенства (12.9) следует, что $ c>a$ , то есть у гиперболы $ {\varepsilon}>1$ . Эксцентриситет $ {\varepsilon}$ характеризует угол между асимптотами, чем ближе $ {\varepsilon}$ к 1, тем меньше этот угол.         

        Замечание 12.4   В отличие от эллипса в каноническом уравнении гиперболы соотношение между величинами $ a$ и $ b$ может быть произвольным. В частности, при $ {a=b}$ мы получим равностороннюю гиперболу, известную из школьного курса математики. Ее уравнение имеет знакомый вид $ {\tilde y=\frac k{\tilde x}}$ , если взять $ {k=0.5a^2}$ , а оси $ O\tilde x$ и $ O\tilde y$ направить по биссектрисам четвертого и первого координатных углов (рис. 12.12).




Рис.12.12.Равносторонняя гипербола $ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1$


        

Для отражения на рисунке качественных характеристик гиперболы достаточно определить ее вершины, нарисовать асимптоты и нарисовать гладкую кривую, проходящую через вершины, приближающуюся к асимптотам и похожую на кривую рисунка 12.10.

        Пример 12.4   Постройте гиперболу $ 4x^2-y^2=4$ , найдите ее фокусы и эксцентриситет.

Решение. Разделим обе части уравнения на 4. Получим каноническое уравнение

$\displaystyle \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{2^2}=1,$

$ a=1$ , $ b=2$ . Проводим асимптоты $ y=\pm 2x$ и строим гиперболу (рис. 12.13).




Рис.12.13.Гипербола $ 4x^2-y^2=4$


Из формулы (12.9) получим $ c=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$ . Тогда фокусы -- $ F_1(-\sqrt5;0)$ , $ F_2(\sqrt5;0)$ , $ {{\varepsilon}=\frac ca=\sqrt5}$ .         

        Пример 12.5   Постройте гиперболу $ {25x^2+100=4y^2}$ . Найдите ее фокусы и эксцентриситет.

Решение. Преобразуем уравнение к виду

$\displaystyle -\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{5^2}=1.$

Данное уравнение не является каноническим уравнением гиперболы, так как знаки перед $ x^2$ и $ y^2$ противоположны знакам в каноническом уравнении. Однако, если переобозначить переменные $ {\tilde x=y}$ , $ {\tilde y=x}$ , то в новых переменных получим каноническое уравнение

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{5^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}=1.$

Действительная ось этой гиперболы лежит на оси $ O\tilde x$ , то есть на оси $ Oy$ исходной системы координат, асимптоты имеют уравнение $ {\tilde y=\pm\frac 25\tilde x}$ , то есть уравнение $ {y=\pm\frac 52x}$ в исходных координатах. Действительная полуось равна 5, мнимая -- 2. В соответствии с этими данными проводим построение (рис. 12.14).




Рис.12.14.Гипербола с уравнением $ {25x^2+100=4y^2}$


Из формулы (12.9) получим $ c=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}$ , $ {{\varepsilon}=\frac{\sqrt{29}}5}$ , фокусы лежат на действительной оси -- $ F_1\left(0;-\sqrt{29}\right)$ , $ F_2\left(0;\sqrt{29}\right)$ , где координаты указаны в исходной системе координат.