‹-- Назад

Окружность

Начнем с определения окружности, известного из школьного курса математики.

        Определение 12.2   Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.         

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

        Теорема 12.1   Окружность радиуса $ R$ с центром в точке $ M_0(x_0;y_0)$ имеет уравнение

$\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.$ (12.2)

        Доказательство.     Пусть $ M(x;y)$ -- текущая точка окружности. По определению окружности расстояние $ MM_0$ равно $ R$ (рис. 12.1)




Рис.12.1.Окружность


По формуле (10.4) для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

$\displaystyle \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=R.$

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение (12.2).     

Если в уравнении (12.2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду (12.2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным $ x$ и $ y$ .

        Пример 12.1   Нарисуйте кривую $ {x^2+y^2-2x+6y+6=0}$ .

Решение. Выделив полные квадраты, получим

$\displaystyle (x-1)^2+(y+3)^2=2^2.$

Если выделение полных квадратов вызывает затруднение, то более подробные объяснения можно получить здесь.

Итак, центр окружности -- $ M_0(1;-3)$ , радиус равен 2 (рис. 12.2).




Рис.12.2.Окружность, заданная уравнением $ x^2+y^2-2x+6y+6=0$


Решение задачи закончено.