‹-- Назад

Основные задачи на прямую и плоскость

Довольно часто встает следующая задача. Требуется от общих уравнений прямой перейти к параметрическим, которые в некотором смысле являются более удобными. Рассмотрим, как решить такую задачу.

Для того, чтобы написать параметрические уравнения прямой нужно знать координаты какой-нибудь точки на прямой и координаты направляющего вектора. Как найти координаты точки $ M_0$ на прямой, мы уже обсуждали выше Направляющий вектор можно найти двумя способами.

Во-первых, можно найти координаты другой точки $ M_1$ на этой же прямой и в качестве направляющего вектора взять вектор $ \overrightarrow {M_0M_1}$ .

Во-вторых, если заметить, что нормальные векторы $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ плоскостей, чьи уравнения образуют систему уравнений для прямой, ортогональны самой прямой, то можно сделать вывод: любой ненулевой вектор, ортогональный векторам $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ , можно принять в качестве направляющего вектора p. В частности, можно положить $ {{\bf p}={\bf n}_1\times {\bf n}_2}$ .

        Пример 11.4   Прямая задана уравнениями

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 2x-3y+4z+1=0,\\ x+2y-2z+2=0.\end{array}\right.$ (11.15)

Требуется написать ее параметрические уравнения.

Решение. Найдем какую-нибудь точку $ M_0$ на прямой. Положим $ z=0$ . Система (11.15) примет вид

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 2x-3y+1=0,\\ x+2y+2=0,\end{array}\right.$

Решая ее, находим $ x=-\frac 87$ , $ y=-\frac 37$ . Таким образом, на прямой лежит точка $ M_0\left(-\frac 87;-\frac37;0\right)$ . Найдем направляющий вектор. Нормальными векторами плоскостей, соответствующих уравнениям системы (11.15), являются $ {{\bf n}_1=(2;-3;4)}$ , $ {{\bf n}_2=(1;2;-2)}$ . Положим $ {\bf p}={\bf n}_1\times {\bf n}_2$ . Тогда

$\displaystyle {\bf p}=\left\vert\begin{array}{rrr} {\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\ 2&-3&4\\ 1&2&-2\end{array}\right\vert=
-2{\bf i}+8{\bf j}+7{\bf k}.$

Теперь, зная точку и направляющий вектор, можно написать параметрические уравнения прямой.

Ответ: $ \left\{\begin{array}{l}x=-2t-\frac87,\\ y=8t-\frac37,\\ z=7t.\end{array}\right.$         

Следующая, часто встречающаяся, задача такая:

Дано уравнение плоскости и уравнения прямой. Требуется найти их точку пересечения.

Так как точка пересечения принадлежит и прямой, и плоскости, то она удовлетворяет и уравнению плоскости, и уравнениям прямой. Поэтому для решения задачи нужно объединить уравнение плоскости и уравнения прямой в одну систему и решить ее.

        Пример 11.5   Найдите точку пересечения прямой $ \frac{x-2}2=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}3$ и плоскости $ {x+y+2z-1=0}$ .

Решение. Прямая задана каноническими уравнениями. Им соответствует система уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x-2}2=\dfrac{y+1}{-1},\\ \dfrac{x-2}2=\dfrac{z-1}3.
\end{array}\right.$

В результате для нахождения точки пересечения прямой и плоскости получаем систему уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x-2}2=\dfrac{y+1}{-1},\\ \dfrac{x-2}2=\dfrac{z-1}3,\\
x+y+2z-1=0.\end{array}\right.$

Для ее решения можно предложить следующий путь. Из первого уравнения выражаем $ y$ через $ x$ : $ {y=-\frac x2}$ . Из второго -- $ z$ через $ x$ : $ {z=\frac{3x}2-2}$ . Найденные выражения для $ y$ и $ z$ подставляем в третье уравнение и находим $ {x=\frac{10}7}$ . Находим $ y$ и $ z$ : $ {y=-\frac57}$ , $ {z=\frac17}$ .

Ответ: $ M\left(\frac{10}7;-\frac57;\frac17\right)$ .         

Следующие две задачи связаны с нахождением угла.

1. Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.

Угол $ {\varphi}$ между прямыми -- это угол $ \psi$ между их направляющими векторами, если направляющие векторы образуют острый угол $ (\cos\psi>0)$ , или $ {\varphi}=\pi-\psi$ , если $ \psi$  -- тупой угол $ (\cos\psi<0)$ . Во втором случае $ {\cos{\varphi}=-\cos\psi=\vert\cos\psi\vert}$ .

Для решения задачи достаточно найти направляющие векторы $ {\bf p}_1$ и $ {\bf p}_2$ прямых. Тогда

$\displaystyle \cos\psi=\frac{{\bf p}_1{\bf p}_2}{\vert{\bf p}_1\vert\cdot\vert{\bf p}_2\vert},$

а искомый угол $ {\varphi}$ определяется из равенства

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{\vert{\bf p}_1{\bf p}_2\vert}{\vert{\bf p}_1\vert\cdot\vert{\bf p}_2\vert}.$

2. Даны уравнение плоскости $ \Pi$ и уравнения прямой $ {\gamma}$ . Требуется найти угол $ {\varphi}$ между прямой и плоскостью.

По определению, угол между прямой и плоскостью -- это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 11.12).




Рис.11.12.$ {\varphi}$  -- угол между прямой и плоскостью


Пусть $ \psi$ -- угол между нормальным вектором n плоскости $ \Pi$ и направляющим вектором p прямой $ {\gamma}$ . Тогда либо $ {{\varphi}=\frac{\pi}2
-\psi}$ (рис. 11.12), либо $ {{\varphi}=\psi-\frac{\pi}2}$ (рис. 11.13).




Рис.11.13.$ {\varphi}$  -- угол между прямой и плоскостью


В обоих случаях $ \sin{\varphi}=\vert\cos\psi\vert$ , а так как $ \cos\psi=\frac{{\bf n}{\bf p}}
{\vert{\bf n}\vert\cdot\vert{\bf p}\vert}$ , то

$\displaystyle \sin{\varphi}=\frac{\vert{\bf n}{\bf p}\vert}{\vert{\bf n}\vert\cdot\vert{\bf p}\vert}.$

Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.

        Пример 11.6   Найдите точку $ M_1$ , симметричную точке $ M(1;-2;1)$ относительно прямой $ {\gamma}$ :

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ x-y-z=2.\end{array}\right.$ (11.16)

Решение. Найдем сначала проекцию $ M_0$ точки $ M$ на прямую $ {\gamma}$ (рис 2.14).




Рис.11.14.Точки, симметричные относительно прямой


Для этого напишем уравнение плоскости $ \Pi$ , проходящей через точку $ M$ и перпендикулярной прямой $ {\gamma}$ , а затем найдем точку $ M_0$ , являющуюся точкой пересечения плоскости и прямой.

Заметим, что плоскость, перпендикулярная прямой $ {\gamma}$ , параллельна нормальным векторам $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ плоскостей, соответствующих уравнениям в системе (11.16). Поэтому нормальный вектор n плоскости, перпендикулярной прямой $ {\gamma}$ , можно взять равным $ {\bf n}_1\times {\bf n}_2$ : $ {{\bf n}_1=(1;1;0)}$ , $ {{\bf n}_2=(1;-1;-1)}$ ,

$\displaystyle {\bf n}={\bf n}_1\times {\bf n}_2=\left\vert\begin{array}{rrr}{\b...
...j}&{\bf k}\\ 1&1&0\\ 1&-1&-1\end{array}
\right\vert=-{\bf i}+{\bf j}-2{\bf k}.$

Уравнение плоскости $ \Pi$ : $ -(x-1)+(y-(-2))-2(z-1)=0$ , то есть $ {-x+y-2z+5=0}$ .

Находим точку $ M_0$ :

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x+y=1,\\ x-y-z=2,\\ -x+y-2z+5=0.\end{array}\right.$

Решение этой системы: $ x=2$ ; $ y=-1$ ; $ z=1$ , $ M_0(2;-1;1)$ .

Пусть $ M_1(x;y;z)$ -- искомая точка. Тогда из рис. 11.14 видно, что $ {\overrightarrow {MM_1}=2\overrightarrow {MM_0}}$ . Находим $ {\overrightarrow {MM_1}=(x-1;y+2;z-1)}$ , $ {\overrightarrow {MM_0}=(1;1;0)}$ . Тогда

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x-1=2,\\ y+2=2,\\ z-1=0,\end{array}\right.$

откуда $ x=3$ , $ y=0$ , $ z=1$ .

Ответ: $ M_1(3;0;1)$ .