‹-- Назад

Прямая на плоскости

Прямая на плоскости и плоскость в пространстве обладают тем общим свойством, что дополнительная размерность равна единице. Другими словами, что все нормальные векторы к плоскости являются коллинеарными и все нормальные векторы к прямой на плоскости тоже коллинеарны. Отметим, что прямая в пространстве этим свойством не обладает. Нормальные векторы к ней, если их начала поместить в одну точку, "заполняют" целую плоскость. Так как формулы (11.1), (11.3), (11.4), (11.5), (11.6), (11.7) основывались на нормальном векторе к плоскости, то они остаются верными и для прямой на плоскости, если из них исключить третью координату. Доказательство этих формул для прямой на плоскости полностью повторяет их доказательство для плоскости в пространстве.

Например, если прямая имеет уравнение $ Ax+By+C=0$ , то расстояние от точки $ M_0(x_0,y_0)$ до этой прямой получается из формулы (11.7) отбрасыванием третьей координаты $ z$ :

$\displaystyle \rho=\frac{\vert Ax_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

Кроме перечисленных выше формул для прямой на плоскости стоит отметить еще одну, связанную с тем, что на плоскости чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом $ {y=kx+b}$ , хорошо известное по школьному курсу математики.

        Предложение 11.2   Пусть заданы две прямые $ y=k_1x+b_1$ и $ y=k_2x+b_2$ , ($ k_2>k_1$ ). Тогда, если $ k_1k_2\ne-1$ , то угол $ {\varphi}$ между этими прямыми можно найти из формулы

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}.$ (11.10)

Если $ k_1k_2=-1$ , то прямые перпендикулярны.

        Доказательство.     Как известно из школьного курса математики, угловой коэффициент в уравнении прямой $ {y=kx+b}$ равен тангенсу угла $ {\alpha}$ наклона прямой к оси $ Ox$ . Из рис. 11.10 видно, что $ {{\varphi}={\alpha}_2-{\alpha}_1}$ .




Рис.11.10.Угол между прямыми


Так как $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_1=k_1$ , $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_2=k_2$ , то при $ k_1k_2\ne-1$ выполняется равенство

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=\mathop{\rm tg}\nolimits ({\al...
...mits {\alpha}_1\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_2}=
\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2},$

что дает формулу (11.10).

Если же $ {k_1k_2=-1}$ , то $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_1\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_2=-1$ , откуда

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_2=-\mathop{\rm ctg}\nolimits {\alpha}_1=\mathop{\rm tg}\nolimits \left(\frac{\pi}2+{\alpha}_1\right).$

Следовательно, $ {\alpha}_2=\frac{\pi}2+{\alpha}_1$ и $ {\varphi}={\alpha}_2-{\alpha}_1=\frac{\pi}2$ .