‹-- Назад

Расстояние от точки до плоскости

        Предложение 11.1   Пусть плоскость $ \Pi$ задана уравнением $ {Ax+By+Cz+D=0}$ и дана точка $ M_0
(x_0;y_0;z_0)$ . Тогда расстояние $ \rho$ от точки $ M_0$ до плоскости $ \Pi$ определяется по формуле

$\displaystyle \rho=\frac{\vert Ax_0+By_0+Cz_0+D\vert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$ (11.7)

        Доказательство.     Расстояние от точки $ M_0$ до плоскости $ \Pi$ -- это, по определению, длина перпендикуляра $ MK$ , опущенного из точки $ M_0$ на плоскость $ \Pi$ (рис. 11.9).




Рис.11.9.Расстояние от точки до плоскости


Вектор $ \overrightarrow {KM_0}$ и нормальный вектор n плоскости $ \Pi$ параллельны, то есть угол $ {\varphi}$ между ними равен 0 или $ \pi$ , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому

$\displaystyle \vert{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}\vert=\vert{\bf n}\vert\vert\overrightarrow {KM_0}\vert\vert\cos{\varphi}\vert=\vert{\bf n}\vert\rho.$

Откуда

$\displaystyle \rho=\frac{\vert{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}\vert}{\vert{\bf n}\vert}.$ (11.8)

Координаты точки $ K$ , которые нам неизвестны, обозначим $ x_1,\,y_1,\,z_1$ . Тогда $ \overrightarrow {KM_0}=(x_0-x_1;y_0-y_1;z_0-z_1)$ . Так как $ {{\bf n}=(A;B;C)}$ , то $ {{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)}$ . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим

$\displaystyle {\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=Ax_0+By_0+Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1).$ (11.9)

Точка $ K$ лежит на плоскости $ \Pi$ , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: $ {Ax_1+By_1+Cz_1+D=0}$ . Отсюда находим, что $ {Ax_1+By_1+Cz_1=-D}$ . Подставив полученный результат в формулу (11.9), получим $ {{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=Ax_0+By_0+Cz_0+D}$ . Так как $ {\vert{\bf n}\vert=
\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ , то из формулы (11.8) следует формула (11.7).