‹-- Назад

Смешанное произведение

        Определение 10.28   Смешанным произведением векторов a,b,c называется число $ {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .         

Смешанное произведение будем обозначать abc.

        Предложение 10.26   Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

        Доказательство.     По определению $ {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения ( теорема 10.2) $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если $ {{\bf b}\times
{\bf c}\ne0}$ , то вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу  предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.     

Следующее предложение показывает геометрический смысл смешанного произведения.

        Предложение 10.27   Смешанное произведение abc некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, сторонами которого служат векторы a,b,c, взятому со знаком "$ +$ ", если векторы образуют правую тройку, и со знаком "$ -$ ", если -- левую.

        Доказательство.     Пусть $ {\bf d}={\bf b}\times {\bf c}$ . По  предложению 10.22 $ \vert{\bf d}\vert$ равен площади $ S$ параллелограмма, сторонами которого служат векторы b,c (рис. 10.26, 10.27).




Рис.10.26.Правая тройка





Рис.10.27.Левая тройка


По свойству 7 скалярного произведения ( теорема 10.2)

$\displaystyle {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})={\bf a}{\bf d}={\bf d}{\bf a}=\vert{\bf d}\vert Пр_{{\bf d}}{\bf a}.$ (10.7)

Пусть $ h$  -- высота параллелепипеда (рис. 10.26, 10.27). Если a,b,c -- правая тройка векторов, то $ { Пр_{{\bf d}}{\bf a}=h}$ (рис. 10.26), если a,b,c -- левая тройка, то $ { Пр_{{\bf d}}{\bf a}=-h}$ . Так как $ {S\cdot h=V}$  -- объем параллелепипеда, то из формулы (10.7) получим $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=V}$ в случае правой тройки и $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=-V}$ в случае левой тройки сомножителей.     

Заметим, что если тройка векторов a,b,c является правой, то тройки c,a,b и b,c,a также будут правыми, а тройки b,a,c, c,b,a и a,c,b будут левыми тройками векторов.

Так как объем параллелепипеда не зависит от того, в каком порядке перечисляются его стороны, то

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf c}{\bf a}{\bf b}={\bf b}{\bf c}{\bf a}=-{\bf b}{\bf a}{\bf c}=-{\bf c}{\bf b}{\bf a}=-{\bf a}{\bf c}{\bf b}.$ (10.8)

        Предложение 10.28   Смешанное произведение линейно по каждому аргументу.

         Линейность операции по какому-то аргументу означает выполнение двух условий:

1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции;

2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого.

Со свойством линейности мы уже встречались при изучении скалярного произведения векторов (свойства 2,3  теорема 10.2), векторного произведения ( предложения 10.2010.21), в математическом анализе свойством линейности обладают операции нахождения предела, дифференцирования, интегрирования.

В частности, утверждение, что смешанное произведение линейно по второму аргументу, означает:

1) $ {\bf a}({\lambda}{\bf b}){\bf c}={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c})$ ;

2) $ {\bf a}({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}={\bf a}{\bf b}_1{\bf c}+{\bf a}{\bf b}_2{\bf c}$ .

        Доказательство  предложения 10.28.     Соотношения $ ({\lambda}{\bf a}){\bf b}{\bf c}={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c})$ и $ {({\bf a}_1+{\bf a}_2){\bf b}{\bf c}=
{\bf a}_1{\bf b}{\bf c}+{\bf a}_2{\bf b}{\bf c}}$ следуют из того, что abc является скалярным произведением a на $ {\bf b}\times {\bf c}$ и из линейности скалярного произведения (свойства 2,3,  теорема 10.2).

Для второго аргумента: в силу равенства (10.8) выполнено $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf b}{\bf c}{\bf a}}$ , поэтому

$\displaystyle {\bf a}({\lambda}{\bf b}){\bf c}=({\lambda}{\bf b}){\bf c}{\bf a}={\lambda}({\bf b}{\bf c}{\bf a})={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c}),$

$\displaystyle {\bf a}({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}=({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}{...
...f a}+{\bf b}_2{\bf c}{\bf a}=
{\bf a}{\bf b}_1{\bf c}+{\bf a}{\bf b}_2{\bf c}.$

Для третьего аргумента свойство линейности доказывается аналогично.     

Теперь подготовлен аппарат для доказательства  предложения 10.21.

        Доказательство  предложения 10.21.    Выберем в пространстве правый ортонормированный базис i,j,k. Пусть $ {{\bf d}={\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c})}$ , $ {{\bf d}=({\alpha};{\beta};{\gamma})}$ , $ {{\bf d}_1={\bf a}\times {\bf b}}$ , $ {{\bf d}_1=({\alpha}_1;{\beta}_1;{\gamma}_1)}$ , $ {{\bf d}_2={\bf a}\times {\bf c}}$ , $ {{\bf d}_2=({\alpha}_2;{\beta}_2;{\gamma}_2)}$ . Нам нужно доказать, что $ {{\bf d}={\bf d}_1+{\bf d}_2}$ , то есть что выполняются равенства: $ {{\alpha}={\alpha}_1+{\alpha}_2}$ , $ {{\beta}={\beta}_1+{\beta}_2}$ , $ {{\gamma}={\gamma}_1+{\gamma}_2}$ .

В силу  предложения 10.16

$\displaystyle {\alpha}= Пр_{\bf i}{\bf d}=\frac {{\bf i}{\bf d}}{\vert{\bf i}\v...
... d}={\bf i}({\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c}))=
{\bf i}{\bf a}({\bf b}+{\bf c}).$

По свойству линейности смешанного произведения

$\displaystyle {\alpha}={\bf i}{\bf a}{\bf b}+{\bf i}{\bf a}{\bf c}=
{\bf i}{\bf d}_1+{\bf i}{\bf d}_2={\alpha}_1+{\alpha}_2.$

Аналогично доказываются равенства $ {\beta}={\beta}_1+{\beta}_2$ , $ {\gamma}={\gamma}_1+{\gamma}_2$ .     

        Предложение 10.29   Объем треугольной пирамиды, ребрами которой служат векторы a,b,c, равен $ \frac 16\vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert$ .

        Доказательство.     Построим параллелепипед, три ребра которого совпадают с тремя ребрами пирамиды, выходящими из одной точки (рис. 10.28).




Рис.10.28.Объем пирамиды


Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $ {V=S_{ABDC}\cdot h}$ , а объем пирамиды -- $ {V_{пир}=\frac 13 S_{\triangle ABC}\cdot h}$ . Так как $ {S_{\triangle ABC}=\frac 12 S_{ABDC}}$ , то $ {V_{пир}=\frac 16 V}$ .

По  предложению 10.27 получим, что $ V=\vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert$ , а $ {V_{пир}=\frac
16 \vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert}$ .     

Получим формулу для нахождения смешанного произведения по координатам сомножителей.

        Предложение 10.30   Пусть в правом ортонормированном базисе i,j,k заданы векторы $ {{\bf a}=({\alpha}_1;{\alpha}_2;{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1;{\beta}_2;{\beta}_3)}$ , $ {{\bf c}=({\gamma}_1;{\gamma}_2;{\gamma}_3)}$ . Тогда

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}=\left\vert\begin{array}{ccc} {\alpha}_1&{\a...
...&{\beta}_2&{\beta}_3\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2&{\gamma}_3 \end{array}\right\vert.$ (10.9)

        Доказательство.     По  предложению 10.25 находим координаты вектора $ {\bf b}\times {\bf c}$ :

$\displaystyle {\bf b}\times {\bf c}=\left(\left\vert\begin{array}{cc} {\beta}_2...
...}{cc} {\beta}_1&{\beta}_2\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2\end{array}\right\vert\right).$

По  теореме 10.3 находим скалярное произведение вектора a на вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ :

$\displaystyle {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})={\alpha}_1
\left\vert\begin{...
...n{array}{cc} {\beta}_1&{\beta}_2\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2\end{array}\right\vert.$

Правая часть этого равенства совпадает с определением определителя $ \left\vert\begin{array}{ccc} {\alpha}_1&{\alpha}_2&{\alpha}_3\\
{\beta}_1&{\beta}_2&{\beta}_3\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2&{\gamma}_3 \end{array}\right\vert$ . По определению $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})}$ , формула (10.9) доказана.     

 Предложения 10.26 и 10.30 позволяют устанавливать, компланарны ли три вектора, заданные своими координатами или, другими словами, является ли система из трех векторов линейно зависимой ( предложение 10.10), или образуют ли базис эти три вектора.

        Пример 10.3   Является ли система векторов $ {\bf a}=(1;1;-2)$ , $ {\bf b}=(4;-1;3)$ , $ {{\bf c}=(6;1;-1)}$ линейно зависимой?

Находим

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}=\left\vert\begin{array}{rrr} 1&1&-2\\ 4&-1&...
...}\right\vert-
2\left\vert\begin{array}{rr} 4&-1\\ 6&1\end{array}\right\vert=0.$

По  предложению 10.26 векторы a,b,c компланарны и по предложению 10.10 линейно зависимы.