‹-- Назад

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис i, j, k. Наложим на этот базис еще одно дополнительное условие, а именно: из конца вектора k поворот от i к j по кратчайшему направлению должен быть виден против часовой стрелки.

        Определение 10.27   Упорядоченную тройку некомпланарных векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ будем называть правой тройкой векторов, если из конца третьего вектора $ {\bf a}_3$ поворот от первого вектора $ {\bf a}_1$ ко второму вектору $ {\bf a}_2$ по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки. Если поворот виден по часовой стрелке, то тройку называют левой тройкой векторов.         

Оказывается, если векторы правой тройки изменять непрерывно, но так, чтобы в любой момент времени они были не компланарны, то в любой момент такой деформации эта тройка векторов будет правой тройкой. Аналогичным свойством обладает и левая тройка векторов.

Отметим также, что определение векторного произведения и правой (левой) тройки вектров связаны с наличием в пространстве "физических" объектов: часов, человека и т. п. В абстрактном векторном пространстве, где такие объекты отсутствуют, определить, какая тройка -- правая, а какая -- левая, невозможно. Можно только все некомпланарные тройки векторов разбить на два класса такие, что при непрерывной деформации тройки одного класса, при которой в любой момент векторы тройки не компланарны, тройка все время остается в своем классе.

Итак, пусть в трехмерном пространстве задан ортонормированный базис i, j, k, векторы которого образуют правую тройку векторов. Такой базис будем называть правым.

Используя определение векторного произведения, легко проверить следующую таблицу умножения $ {\bf a}\times{\bf b}$ :

a \ b i j k
i 0 k - j
j - k 0 i
k j - i 0

        Предложение 10.24   Пусть $ {\bf a}=({\alpha}_1,{\alpha}_2,{\alpha}_3)$ , $ {\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3)$ . Тогда

$\displaystyle {\bf a}\times {\bf b}=({\alpha}_2{\beta}_3-{\alpha}_3{\beta}_2,{\alpha}_3{\beta}_1-{\alpha}_1{\beta}_3,
{\alpha}_1{\beta}_2-{\alpha}_2{\beta}_1).$

        Доказательство.     По условию $ {{\bf a}={\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alpha}_3{\bf k}}$ , $ {{\bf b}={\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\bf j}+{\beta}_3
{\bf k}}$ . В силу  предложений 10.20 и 10.21 получим

$\displaystyle {\bf a}\times {\bf b}=({\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alph...
... {\bf b})+{\alpha}_2
 ({\bf j}\times {\bf b})+{\alpha}_3({\bf k}\times {\bf b})$ (10.5)

По тем же правилам

$\displaystyle {\bf i}\times {\bf b}={\bf i}\times ({\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\...
...s {\bf i})+
{\beta}_2({\bf i}\times {\bf j})+{\beta}_3({\bf i}\times {\bf k}).$

По таблице умножения $ {{\bf i}\times {\bf b}={\beta}_2{\bf k}-{\beta}_3{\bf j}}$ . Аналогично находим $ {{\bf j}\times {\bf b}=-{\beta}_1{\bf k}+{\beta}_3{\bf i}}$ , $ {{\bf k}\times {\bf b}={\beta}_1{\bf j}-{\beta}_2{\bf i}}$ . Подставив полученные результаты в формулу (10.5), получим

$\displaystyle {\bf a}\times {\bf b}={\alpha}_1({\beta}_2{\bf k}-{\beta}_3{\bf j...
...ta}_1{\bf k}+{\beta}_3{\bf i})+
{\alpha}_3({\beta}_1{\bf j}-{\beta}_2{\bf i})=$

$\displaystyle =({\alpha}_2{\beta}_3-{\alpha}_3{\beta}_2){\bf i}+({\alpha}_3{\be...
...{\alpha}_1{\beta}_3)
{\bf j}+({\alpha}_1{\beta}_2-{\alpha}_2{\beta}_1){\bf k}.$

    

Запомнить полученную формулу довольно тяжело. Чтобы облегчить этот процесс, введем еще два дополнительных объекта -- матрицу и определитель.

Матрицей второго порядка будем называть таблицу из четырех чисел, которая обозначается \begin{displaymath}\left(
\begin{array}{cc}
{\alpha}_1&{\alpha}_2\\
{\beta}_1&{\beta}_2
\end{array}
\right)\end{displaymath} , матрицей третьего порядка называется таблица из 9 чисел -- \begin{displaymath}\left(
\begin{array}{ccc}
{\alpha}_1&{\alpha}_2&{\alpha}_3\...
...}_3\\
{\gamma}_1&{\gamma}_2&{\gamma}_3
\end{array}
\right).\end{displaymath}

Определителем матрицы второго порядка будем называть число $ {\alpha}_1{\beta}_2-{\alpha}_2{\beta}_1$ . Определитель второго порядка обозначается \begin{displaymath}\left\vert
\begin{array}{cc}
{\alpha}_1&{\alpha}_2\\
{\be...
...end{array}
\right\vert={\alpha}_1{\beta}_2-{\alpha}_2{\beta}_1\end{displaymath} .

Определителем матрицы третьего порядка будем называть число

\begin{displaymath}\left\vert
\begin{array}{ccc}
{\alpha}_1&{\alpha}_2&{\alpha...
...eta}_1&{\beta}_2\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2\end{array}\right\vert.\end{displaymath}

Сформулируем словами правило вычисления определителя третьего порядка.

Берем первый элемент первой строки. Мысленно вычеркиваем строку и столбец с этим элементом. Умножаем этот элемент на определитель, оставшийся после вычеркивания. Затем пишем знак "-" и берем второй элемент первой строки. Мысленно вычеркиваем строку и столбец с этим элементом и пишем оставшийся определитель. Затем пишем знак "+" и третий элемент первой строки. Снова вычеркиваем строку и столбец с этим элементом и пишем оставшийся определитель.

В дальнейшем мы увидим, что столь сложно введенное понятие определителя оказывается очень полезным при решении систем линейных уравнений, определении линейной зависимости векторов и во многих других задачах.

        Пример 10.1   Вычисление определителей:

1) $ \left\vert\begin{array}{rr} 3&1\\ -1&4\end{array}\right\vert=3\cdot 4-1\cdot(-1)=13$ .



2) $ \left\vert\begin{array}{rrr} 1&2&-3\\ 1&-1&0\\ 2&1&4\end{array}\right\vert=
1...
...ght\vert+(-3)\cdot\left\vert\begin{array}{rr} 1&-1\\ 2&1\end{array}\right\vert=$


$ =\left((-1)\cdot4-0\cdot1\right)-2\cdot(1\cdot4-0\cdot2)-3\left(1\cdot1
-(-1)\cdot2\right)=-21$ .         

Формула для определителя третьего порядка позволяет кратко записать формулу для вычисления векторного произведения.

        Предложение 10.25   Если в правом ортонормированном базисе i,j,k заданы координаты векторов $ {{\bf a}=({\alpha}_1,
{\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3)}$ , то

$\displaystyle {\bf a}\times {\bf b}=\left\vert\begin{array}{ccc} {\bf i}&{\bf j...
...{\alpha}_2&{\alpha}_3\\ 
 {\beta}_1&{\beta}_2&{\beta}_3 \end{array}\right\vert.$ (10.6)

        Доказательство.     Достаточно лишь написать формулу вычисления приведенного в теореме определителя и сравнить ее с формулой  предложения 10.24.     

        Пример 10.2   Пусть $ {\bf a}={\bf i}-2{\bf j}+{\bf k}$ , $ {\bf b}=2{\bf i}-3{\bf k}$ . Тогда

$\displaystyle {\bf a}\times {\bf b}=\left\vert\begin{array}{rrr} {\bf i}&{\bf j...
...right\vert+{\bf k}\left\vert\begin{array}{rr} 1&-2\\ 2&0\end{array}\right\vert=$

$\displaystyle ={\bf i}\bigl((-2)\cdot(-3)-1\cdot0\bigr)-{\bf j}\bigl(1\cdot(-3)-1\cdot2\bigr)+
{\bf k}\bigl(1\cdot0-(-2)\cdot2\bigr)=6{\bf i}+5{\bf j}+4{\bf k}.$

        

Задача. Пусть вершины треугольника расположены в точках $ A(1;-1;2)$ , $ B(2;2;1)$ , $ C(0;4;-1)$ . Найдите площадь треугольника.

Решение. По  предложению 10.22 $ {S_{\triangle}=
\frac 12\vert\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}\vert}$ . Находим $ {\overrightarrow {AB}=(1;3;-1)}$ , $ {\overrightarrow {AC}=(-1;5;-3)}$ ,

$\displaystyle \overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}=\left\vert\begin{...
...right\vert+{\bf k}\left\vert\begin{array}{rr} 1&3\\ -1&5\end{array}\right\vert=$

$\displaystyle ={\bf i}(-9+5)-{\bf j}(-3-1)+{\bf k}(5+3)=-4{\bf i}+4{\bf j}+8{\bf k},$

то есть $ \overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}=(-4;4;8)$ . Тогда

$\displaystyle S_{\triangle}=\frac 12\sqrt{16+16+64}=\frac 12\sqrt{96}=2\sqrt6.$

Ответ: $ 2\sqrt6$ .     

Задача. Найдите такой единичный вектор e, ортогональный векторам $ {{\bf a}=(3;2;2)}$ , $ {{\bf b}=
(1;-1;4)}$ , что тройка векторов a,b,e -- левая.

Решение. Найдем вектор $ {\bf c}={\bf a}\times {\bf b}$ :

$\displaystyle {\bf c}=\left\vert\begin{array}{rrr} {\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\ 3&...
...gin{array}{rr} 3&2\\ 1&-1\end{array}\right\vert=
5(2{\bf i}-2{\bf j}-{\bf k}).$

Вектор c ортогонален векторам a и b. Найдем его длину: $ {\vert{\bf c}\vert=5\sqrt{2^2+(-2)^2+(-1)^2}=15}$ . Тогда $ {{\bf d}=\frac 1{15}{\bf c}}$  -- единичный вектор, ортогональный векторам a,b. Векторы a,b,c, а следовательно, и векторы a,b, $ {{\bf d}=
\left(\frac 23;-\frac 23;-\frac 13\right)}$ . образуют правую тройку векторов. Поэтому $ {{\bf e}=-{\bf d}}$ .

Ответ: $ {\bf e}=\left(-\frac 23;\frac 23;\frac 13\right)$ .