‹-- Назад

Примеры и задачи

        Пример 1.16   Вычислить интеграл

$\displaystyle \int\frac{e^xdx}{\sqrt{1-e^{2x}}},$

сделав замену переменного $ z=e^x$ .

Найдём дифференциал нового переменного: $ dz=e^xdx$ . Получаем:

$\displaystyle \int\frac{e^xdx}{\sqrt{1-e^{2x}}}=\int\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}=
\arcsin z+C=\arcsin e^x+C.$

Ответ: $ \int\frac{e^xdx}{\sqrt{1-e^{2x}}}=\arcsin z+C=\arcsin e^x+C$ .     

        Пример 1.17   Найдём интеграл

$\displaystyle \int xe^{-3x}dx$

при помощи интегрирования по частям.

Поскольку функция $ e^{-3x}$ "практически не изменяется" при интегрировании (так как $ \int e^{-3x}dx=-\frac{1}{3}e^{-3x}+C$ ), а функция $ u=x$ "сильно улучшается" при дифференцировании (так как $ x'=1$ ), то в формуле интегрирования по частям

$\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du$

нужно взять $ u=x$ , $ dv=e^{-3x}dx$ . Имеем тогда:

$\displaystyle \int xe^{-3x}dx=\left\vert\begin{array}{l}
 u=x\\ 
 dv=e^{-3x}dx\...
...^{-3x}
 \end{array}\right\vert=
 -\frac{x}{3}e^{-3x}+\frac{1}{3}\int e^{-3x}dx=$    
$\displaystyle =-\frac{x}{3}e^{-3x}+\frac{1}{3}\cdot(-\frac{1}{3}e^{-3x})+C=
 -\frac{x}{3}e^{-3x}-\frac{1}{9}e^{-3x}+C.$    

Ответ: $ \int xe^{-3x}dx=-\frac{x}{3}e^{-3x}-\frac{1}{9}e^{-3x}+C.$     

        Пример 1.18   Вычислим интеграл

$\displaystyle I=\int e^x\cos x\,dx.$

Для этого два раза подряд применим интегрирование по частям и получим в правой части равенства снова тот же интеграл $ I$ . Полученное равенство будем рассматривать как уравнение для нахождения $ I$ ; решив его, получим ответ. Итак,

$\displaystyle I=\int e^x\cos x\,dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
 u=\cos x\\ 
 d...
...{l}
 u=\sin x\\ 
 dv=e^xdx\\ 
 du=\cos x\,dx\\ 
 v=e^x
 \end{array}\right\vert=$    
$\displaystyle =e^x\cos x+\Bigl(e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx\Bigr)=
 e^x(\cos x+\sin x)-I+C,$    

откуда, решая уравнение

$\displaystyle I=e^x(\cos x+\sin x)-I+C$

относительно $ I$ , получаем:

$\displaystyle I=\frac{1}{2}e^x(\cos x+\sin x)+C.$

Ответ: $ I=\int e^x\cos x\,dx=\frac{1}{2}e^x(\cos x+\sin x)+C.$     

        Пример 1.19   Вычислим интеграл

$\displaystyle I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx.$

Для этого, проинтегрировав по частям, преобразуем интеграл в правой части, так чтобы выделился исходный интеграл $ I$ . Полученное равенство рассмотрим как уравнение относительно $ I$ , откуда и получим ответ. Итак,

$\displaystyle I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
 u=\sqrt{1-x^...
...\ 
 v=x
 \end{array}\right\vert=
 x\sqrt{1-x^2}+\int\frac{x^2dx}{\sqrt{1-x^2}}=$    
$\displaystyle =x\sqrt{1-x^2}-\int\frac{(1-x^2)-1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=
 x\sqrt{1-x^2}-\int\sqrt{1-x^2}\,dx+\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=$    
$\displaystyle =x\sqrt{1-x^2}-I+\arcsin x+C.$    

Перенося $ I$ в левую часть и деля на 2, получаем:

$\displaystyle I=\frac{1}{2}\Bigl(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\Bigr)+C.$

Ответ: $ I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx=
\frac{1}{2}\Bigl(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\Bigr)+C.$     

        Пример 1.20   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$

Возьмём $ u=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ , тогда $ dv=x\,dx$ ; формула интегрирования по частям даёт:

$\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx=
 \left\vert\begin{array}...
... \frac{x^2}{2}\mathop{\rm arctg}\nolimits x-\frac{1}{2}\int\frac{x^2dx}{1+x^2}.$    

Преобразуем интеграл в правой части так, чтобы привести его к табличным интегралам:

$\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx
 =\frac{x^2}{2}\mathop{\r...
...\mathop{\rm arctg}\nolimits x-\frac{1}{2}\int\Bigl(1-\frac{1}{1+x^2}\Bigr)\,dx=$    
$\displaystyle =\frac{x^2}{2}\mathop{\rm arctg}\nolimits x-\frac{1}{2}\Bigl(x-\m...
...ts x\Bigr)+C
 =\frac{1}{2}\Bigl((x^2+1)\mathop{\rm arctg}\nolimits x-x\Bigr)+C.$    

Ответ: $ \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx=\frac{1}{2}\Bigl((x^2+1)\mathop{\rm arctg}\nolimits x-x\Bigr)+C.$