‹-- Назад

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Напомним, что в случае функции одного переменного $ x$ формула Тейлора имеет вид

$\displaystyle f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+\ldots+
 \frac{1}{m!}f^{(m)}(x_0)(x-x_0)^m+$    
$\displaystyle +\frac{1}{(m+1)!}f^{(m+1)}(x_t)(x-x_0)^{m+1},$    

где $ x_0$  -- фиксированная точка, в которой ведётся разложение, $ x$  -- текущая точка, а $ x_t$  -- некоторая точка отрезка между точками $ x_0$ и $ x$ . При этом предполагается, что функция $ f$ имеет производную $ (m+1)$ -го порядка, определённую в некторой окрестности точки $ x_0$ .

Последнее слагаемое формулы, то есть $ \frac{1}{(m+1)!}f^{(m+1)}(x_t)(x-x_0)^{m+1},$ называется остаточным членом формулы Тейлора, а многочлен от $ x$ , равный

$\displaystyle T_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+\ldots+
\frac{1}{m!}f^{(m)}(x_0)(x-x_0)^m,$

называется многочленом Тейлора функции $ f$ в точке $ x_0$ .

Наша цель -- получить формулу для функции $ f$ , зависящей от $ n$ переменных $ x_1,\ \dots,\ x_n$ , частным случаем которой при $ n=1$ будет выписанная выше формула Тейлора для функции одного переменного.