‹-- Назад

Свойства градиента и производной по направлению

Напомним, что для скалярного произведения $ a\cdot b$ двух векторов $ a$ и $ b$ выполнеяется равенство

$\displaystyle a\cdot b=\vert a\vert\vert b\vert\cos{\varphi},$

где $ {\varphi}$  -- угол между векторами $ a$ и $ b$ . Записав это равенство для векторов $ g=(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ и $ \tau=\frac{a}{\vert a\vert}$ , получим, что

$\displaystyle g\cdot\tau=\vert g\vert\cos{\varphi},$

где $ {\varphi}$  -- угол между осью $ \ell$ и вектором $ g$ , поскольку $ \vert\tau\vert=1$ . Учитывая, что $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}(x^0)=g\cdot\tau$ , получаем:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(x^0)=\vert(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\vert\cos{\varphi}.$

Поскольку величина модуля градиента не зависит от угла $ {\varphi}$ , а $ \cos{\varphi}$ может изменяться от $ -1$ до 1, получаем, что своё максимальное значение $ \vert(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\vert$ производная по направлению $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}(x^0)$ принимает при $ {\varphi}=0$ (когда $ \cos{\varphi}=1$ ), то есть при условии, что направление оси $ \ell$ совпадает с направлением градиента. Минимальное значение производной по направлению, равное $ -\vert(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\vert$ , получается при $ {\varphi}=\pi=180^{\circ}$ (когда $ \cos{\varphi}=-1$ ), то есть при оси $ \ell$ , направленной противоположно вектору $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ .

Заметим также, что $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}(x^0)=0$ , если ось $ \ell$ направлена перпендикулярно вектору $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ : тогда $ {\varphi}=\frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}=90^{\circ}$ и $ \cos{\varphi}=0$ . Верно и обратное: если $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\ne0$ , то $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}(x^0)=0$ , только если ось $ \ell$ направлена перпендикулярно вектору $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ .

Поскольку значение $ \cos{\varphi}$ можно, соответствующим образом выбрав угол $ {\varphi}$ , сделать равным любому числу из отрезка $ [-1;1]$ , то значение производной по направлению принимает любые значения на отрезке $ \Bigl[-\vert(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\vert;\vert(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\vert\Bigr].$

        Определение 8.3   Пусть функция $ f(x)$ задана в некоторой области пространства $ \mathbb{R}^n$ , $ n\geqslant 2$ . Поверхность в пространстве $ \mathbb{R}^n$ , определённая уравнением $ f(x)=C$ , где $ C$  -- постоянная, называется поверхностью уровня $ C$ функции $ f(x)$ . Если $ n=2$ , то множество, заданное уравнением $ f(x)=0$ , называется линией уровня.     

        Пример 8.2   Пусть в $ \mathbb{R}^2$ задана функция

$\displaystyle f(x_1;x_2)=x^2_1+\frac{x_2^2}{4}.$

Тогда при $ C<0$ её линия уровня $ f(x)=C$ представляет собой пустое множество, так как при всех $ x_1,x_2$ верно неравенство

$\displaystyle f(x_1;x_2)=x^2_1+\frac{x_2^2}{4}\geqslant 0.$

При $ C=0$ линия уровня состоит из одной точки $ O(0;0)$ , так как равенство

$\displaystyle f(x_1;x_2)=x^2_1+\frac{x_2^2}{4}=0$

возможно лишь при $ x_1=0;\ x_2=0$ .

При $ C>0$ уравнение

$\displaystyle f(x_1;x_2)=x^2_1+\frac{x_2^2}{4}=C$

задаёт эллипс с центром в точке $ O(0;0)$ и полуосями $ a=\sqrt{C}$ и $ b=2\sqrt{C}$ , поскольку при $ C>0$ уравнение можно записать в виде

$\displaystyle \frac{x^2_1}{\sqrt{C}}+\frac{x_2^2}{4\sqrt{C}}=1.$

Рис.8.1.



При увеличении $ C$ полуоси $ a$ и $ b$ увеличиваются пропорционально друг другу, так что эксцентриситеты всех эллипсов совпадают.     

        Пример 8.3   Поверхностями уровня линейной функции

$\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=2x_1+3x_2-5x_3$

служат плоскости, заданные уравнениями

$\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=2x_1+3x_2-5x_3=C,$

то есть

$\displaystyle 2x_1+3x_2-5x_3-C=0.$

При изменении $ C$ эта плоскость сдвигается, так что при разных значениях $ C_1$ и $ C_2$ поверхности уровня -- плоскости

$\displaystyle 2x_1+3x_2-5x_3-C_1=0$ и $\displaystyle 2x_1+3x_2-5x_3-C_2=0$

параллельны друг другу.     

Заметим, что если функция $ f(x)$ задана в области $ {\Omega}$ , то через каждую точку $ x^0$ области $ {\Omega}$ проходит некоторая поверхность уровня (а именно, поверхность уровня $ C=f(x^0)$ ). Поверхности уровня, соответствующие разным значениям $ C$ , не пересекаются друг с другом. (Действительно, если бы поверхности $ f(x)=C_1$ и $ f(x)=C_2$ , где $ C_1\ne C_2$ , пересекались в некоторой точке $ x^0$ , то функция $ f$ принимала бы в точке $ x^0$ , с одной стороны, значение $ C_1$ , а с другой стороны -- значение $ C_2\ne C_1$ , что невозможно.)

Итак, при передвижении точки $ x\in\mathbb{R}^n$ по поверхности уровня функции $ f$ значения $ f(x)$ не изменяются. Если поверхность уровня представляет собою плоскость $ a_1x_1+\ldots+a_n=C$ , то вдоль любой оси $ \ell$ , лежащей в этой плоскости, производная по направлению $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}$ будет равняться 0, так как во всех точках оси функция $ f$ принимает одно и то же значение $ C$ . Значит, вектор $ \mathop{\rm grad}\nolimits f$ , вычисленный в любой точке этой плоскости, ей перпендикулярен.

Так же обстоит дело и в случае, когда поверхность уровня -- это не обязательно плоскость (но произвольная поверхность): в этом случае градиент оказывается перпендикулярным к касательной плоскости, проведённой к этой поверхности уровня.

Наводящие соображения при этом таковы. Во всех точках поверхности $ {S=\{f(x)=C\}}$ значение функции $ f$ постоянно и равно $ C$ . Рассмотрим поверхность близкого уровня $ C'=C+{\Delta}C$ : $ S'=S_{C+{\Delta}C}$ . Тогда разность значений функции $ f$ в точках поверхностей $ S'$ и $ S$ постоянна и равна $ {\Delta}C$ . Рассмотрим произвольную ось $ \ell$ , проходящую через точку $ x^0$ . Эта ось пересекает поверхность $ S'$ в некоторой точке $ x'$ .

Рис.8.2.



Тогда

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(x^0)=
\lim_{\substack{\vert x-x^...
...
\frac{f(x')-f(x^0)}{\vert x'-x^0\vert}=
\frac{{\Delta}C}{\vert x'-x^0\vert}.$

(Приближённое равенство тем точнее, чем меньще $ {\Delta}C$ .) Пусть для простоты $ {\Delta}C>0$ . При постоянном $ {\Delta}C$ последняя дробь принимает наибольшее значение, если знаменатель минимален, то есть точка $ x'\in S'$  -- ближайшая к поверхности $ S$ . Очевидно, что такая точка должна лежать на перпендикуляре к касательной плоскости $ L$ , проведённой к $ S$ в точке $ x^0$ , то есть $ x'\in\ell\bot L$ .

С другой стороны, направление, в котором производная $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}(x^0)$ максимальна -- это направление вектора $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ . Значит, направление вектора $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ перпендикулярно касательной плоскости $ L$ , что и требовалось получить.

Более точную формулировку даёт следующая

        Теорема 8.2   Пусть поверхность уровня $ S=\{f(x)=C\}$ дифференцируемой функции $ f(x)$ ( $ x\in{\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ ) такова, что в точке $ x^0\in S$ можно провести к $ S$ касательную плоскость $ L$ (размерности $ n-1$ ). Тогда вектор $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ перпендикулярен плоскости $ L$ .

        Доказательство.     Если $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)=0$ , то утверждение теоремы верно. Предположим теперь, что $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\ne0$ . Значит, хотя бы одна из компонент градиента отлична от 0; предположим для определённости, что это $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_n}}(x^0)\ne0$ . Тогда, согласно теореме о неявной функции, из уравнения

$\displaystyle f(x)-C=0$

переменную $ x_n$ можно выразить через остальные переменные $ x_1;\dots;x_{n-1}$ , по крайней мере в некоторой окрестности точки $ (x^0_1;\dots;x^0_{n-1})\in\mathbb{R}^{n-1}$ :

$\displaystyle f(x)=C\ \Longleftrightarrow \ x_n={\varphi}(x_1;\dots;x_{n-1}).$

Таким образом, в некоторой окрестности точки $ x^0\in S$ поверхность $ S$ можно представить как график функции $ {\varphi}$ , которая зависит от $ n-1$ переменного и задана в некоторой окрестности точки $ x^*=(x_1^0;\dots;x^0_{n-1})$ . Касательная плоскость к поверхности $ S$ задаётся тогда уравнением

$\displaystyle x_n-x_n^0=\frac{\partial{\varphi}}{\partial x_1}(x^*)(x_1-x^0_1)+\ldots+
\frac{\partial{\varphi}}{\partial x_{n-1}}(x^*)(x_{n-1}-x^0_{n-1}).$

Однако производные неявно заданной функции $ {\varphi}$ вычисляются так:

$\displaystyle \frac{\partial{\varphi}}{\partial x_1}(x^*)=-\frac{\frac{\partial...
...ac{\partial f}{\partial x_{n-1}}(x^0)}{\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)},
$

так что, умножая левую и правую части уравнения касательной плоскости на $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_n}}(x^0)\ne0$ и перенося все слагаемые в левую часть, можем записать уравнение касательной плоскости в виде

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)(x_1-x_1^0)+\ldots+\frac{\par...
...-1}}(x^0)(x_{n-1}-x_{n-1}^0)+
\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)(x_n-x_n^0).$

Эта плоскость перпендикулярна вектору, компонентами которого служат коэффициенты при $ x_1;\dots;x_n$ , то есть вектору

$\displaystyle \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0);\ldots;\frac{\partial ...
...\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\Bigr)=(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0),$

что и требовалось доказать.     

        Замечание 8.1   Заметим, что заодно мы получили уравнение касательной плоскости к поверхности уровня $ f(x)=C$ в виде


где $ x^0$  -- точка касания. Это уравнение можно также записать в виде

$\displaystyle (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\cdot(x-x^0)=0,$

где точка $ \cdot$ означает скалярное произведение. При этом следует иметь в виду, что любую поверхность, заданную уравнением

$\displaystyle f(x)=0,$

мы можем рассматривать как поверхность уровня $ C=0$ для функции $ f(x)$ .     

        Пример 8.4   Пусть поверхность $ S$ задана уравнением

$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}=1$

в трёхмерном пространстве с координатами $ x,y,z$ (это эллипсоид с центром в начале координат и полуосями $ a=1$ , $ b=2$ , $ c=4$ ). Возьмём на эллипсоиде точку $ \bigl(\frac{1}{2};1;2\sqrt{2}\bigr)$ (проверьте, что она лежит на эллипсоиде!) и найдём уравнение касательной плоскости в этой точке.

Поскольку для функции

$\displaystyle f(x;y;z)=x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}$

поверхность $ S$ служит поверхностью уровня $ C=1$ , то можно применить формулу (8.2). Частные производные равны:

$\displaystyle f'_x=2x;\ f'_y=\frac{y}{2};\ f'_z=\frac{z}{8}.$

Поэтому

$\displaystyle \mathop{\rm grad}\nolimits f=\bigl(2x;\frac{y}{2};\frac{z}{8}\bigr)$

и

$\displaystyle (\mathop{\rm grad}\nolimits f)\bigl(\frac{1}{2};1;2\sqrt{2}\bigr)=
\bigl(1;\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{4}\bigr).$

Теперь выписываем уравнение касательной плоскости:

$\displaystyle 1\cdot\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)+\frac{1}{2}(y-1)+\frac{\sqrt{2}}{4}(z-2\sqrt{2})=0,$

или

$\displaystyle x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{2}}{4}z-2=0.$