‹-- Назад

Производная по направлению

Пусть снова функция $ f(x)$ задана в области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ и имеет во всех точках $ x\in{\Omega}$ частные производные по всем переменным $ x_i$ . Предположим, что все частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x)$ непрерывны в точке $ x^0\in{\Omega}$ . Тогда функция $ f(x)$ длифференцируема в точке $ x^0$ , то есть приращение функции $ {\Delta}f(x^0;{\Delta}x)=f(x^0+{\Delta}x)-f(x^0)=f(x)-f(x^0)$ имеет главную линейную часть, которая равна дифференциалу:

$\displaystyle {\Delta}f(x^0;{\Delta}x)=df(x^0;{\Delta}x)+{\alpha}(x^0;{\Delta}x),$

где $ {\alpha}$  -- величина большего порядка малости при $ {\Delta}x\to0$ , чем $ \vert{\Delta}x\vert$ . Напомним, что

$\displaystyle df(x^0;{\Delta}x)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0){\Delta}x_1+\ldots+
\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0){\Delta}x_n,$

так что получаем


Фиксируем теперь в $ \mathbb{R}^n$ какое-нибудь направление, выбрав задающий его ненулевой вектор $ a=(a_1;\dots;a_n).$ Через точку $ x^0$ в направлении вектора $ a$ проходит некоторая ось $ \ell$ . (Напомним, что осью называется прямая с выбранным на ней направлением, то есть выбранным порядком следования точек.) Точки $ x=(x_1;\dots;x_n)$ этой оси можно задать параметрическими уравнениями:

$\displaystyle x_1=x^0_1+a_1t;\ \dots;\ x^0_n+a_nt$

или, в векторном виде, $ x=x^0+at$ , где $ t\in\mathbb{R}$ и увеличению значений параметра $ t$ соответствует движение точки $ x$ оси $ \ell$ в направлении вектора $ a$ .

Обозначим $ \ell_+$ ту часть оси $ \ell$ , которая состоит из точек оси, следующих после $ x^0$ , то есть точек луча $ x^t=x^0+at$ , получающегося при $ t>0$ .

        Определение 8.2   Значение предела

$\displaystyle \lim_{\substack{x\to x^0\\ x\in\ell_+}}\frac{f(x)-f(x^0)}{\vert x-x^0\vert}$

называется производной функции $ f(x)$ по направлению оси (или луча) $ \ell$ (или по направлению вектора $ a$ ), вычисленной в точке $ x^0$ . Производная по направлению обозначается $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}(x^0)$ или $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial a}}(x^0).$     

Смысл определения производной по направлению -- в том, что она задаёт мгновенную скорость изменения значений функции $ f(x)$ при прямолинейном и равномерном движении точки $ x=x^t$ вдоль оси $ \ell$ в момент $ t=0$ .

Заметим, что если направление оси $ \ell$ совпадает с направлением одной из координатных осей $ Ox_i$ , то производная функции $ f$ по такому направлению, очевидно, равняется (правой) производной функции $ f$ по соответствующей переменной $ x_i$ . Если существует (двусторонняя) частная производная по $ x_i$ , то получаем, что

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(x)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(x),$

если $ \ell=Ox_i$ .

Используя параметризацию точки на луче $ \ell_+$ вида $ x=x^t=x^0+at$ и замечая, что условие $ x\to x^0,\ x\in\ell_+$ означает, что $ t\to0+$ , получаем:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(x^0)=
\lim_{\substack{x^t\to x^0...
...}{\vert x^0+at-x^0\vert}=
\lim_{t\to0+}\frac{f(x^0+at)-f(x^0)}{t\vert a\vert}.$

Запишем теперь приращение функции, стоящее в числителе, через частные производные с помощью формулы (8.1):

$\displaystyle f(x^0+at)-f(x^0)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)\cdot a_1t+\ldots+
 \frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\cdot a_nt+{\alpha}(x^0;at).$    

Отсюда

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(x^0)=
 \lim_{t\to0+}\frac{
 \frac...
...ac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\cdot a_nt+{\alpha}(x^0;at)
 }{t\vert a\vert}=$    
$\displaystyle =\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)\cdot\frac{a_1}{\vert a\vert...
...\frac{a_n}{\vert a\vert}+
 \lim_{t\to0+}\frac{{\alpha}(x^0;at)}{t\vert a\vert}.$    

Здесь в правой части первые $ n$ слагаемых не зависят от $ t$ . Поскольку $ \vert{\Delta}x\vert=t\vert a\vert\to0$ при $ t\to0+$ , то последний предел равен 0, так как $ {\alpha}$  -- величина большего порядка малости, чем $ \vert{\Delta}x\vert$ . Итак, получили формулу

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(x^0)=
\frac{\partial f}{\partial...
...rt}+\ldots+
\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\cdot\frac{a_n}{\vert a\vert}.$

С помощью этой формулы можно вычислять производную по любому направлению, если известен направляющий вектор этого направления $ a$ .

Заметим, что в правой части полученной формулы первый множитель каждого слагаемого -- это компонента вектора $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ , а второй множитель -- компонента вектора $ \tau=\Bigl(\frac{\textstyle{a_1}}{\textstyle{\vert a\vert}};\dots;\frac{\textstyle{a_n}}{\textstyle{\vert a\vert}}\Bigr)$ . Этот вектор лишь длиной отличается от вектора $ a$ ; направление его, очевидно, то же, что у $ a$ . Длина вектора $ \tau=\frac{1}{\vert a\vert}\cdot a$ равна 1:

$\displaystyle \vert\tau\vert=\Bigl\vert\frac{1}{\vert a\vert}\cdot a\Bigr\vert=\frac{1}{\vert a\vert}\cdot\vert a\vert=1.$

Поэтому компоненты вектора $ \tau$  -- это направляющие косинусы -- косинусы углов $ {\alpha}_i$ между осью $ \ell$ и осями координат $ Ox_i$ :

$\displaystyle \cos{\alpha}_i=\vert\tau\vert\vert e_i\vert\cos{\alpha}_i=\tau\cdot e_i=\tau_i,$

где $ e_i$  -- единичный направляющий вектор оси $ Ox_i$ , $ e_i=(0;\dots;0;1;0;\dots;0)$ , а точкой $ \cdot$ обозначено скалярное произведение векторов $ \tau$ и $ e_i$ . Таким образом, имеет место следующая теорема, выражающая связь между производной по направлению, градиентом и единичным направляющим вектором оси:

        Теорема 8.1   Если все частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}$ функции $ f$ непрерывны в точке $ x^0$ и направление оси $ \ell$ задано вектором $ a\ne0$ , то

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(x^0)=(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\cdot\tau,$

где $ \tau=\frac{\textstyle{a}}{\textstyle{\vert a\vert}}=(\cos{\alpha}_1;\dots;\cos{\alpha}_n)$  -- единичный направляющий вектор оси $ \ell$ , или

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(x^0)=
\frac{\partial f}{\partial...
...}(x^0)\cos{\alpha}_1+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\cos{\alpha}_n,$

где $ {\alpha}_1,\dots,{\alpha}_n$  -- углы между осью $ \ell$ и осями $ Ox_1,\dots,Ox_n$ .