‹-- Назад

Примеры и задачи

        Пример 7.24   Найдём область определения функции двух переменных

$\displaystyle f(x;y)=\ln(x^2+y^2-4).$

Поскольку натуральные логарифмы $ \ln t$ определены при $ t>0$ , область определения $ \mathcal{D}(f)$ задаётся условием $ x^2+y^2-4>0$ , или $ x^2+y^2>4.$ Уравнение $ x^2+y^2=4$ задаёт на плоскости $ xOy$ окружность радиуса $ \sqrt{4}=2$ с центром в начале координат.

Рис.7.24.



Неравенство $ x^2+y^2>4$ выполняется для точек $ (x;y)$ , лежащих на большем расстоянии от начала координат, чем точки этой окружности, так что $ \mathcal{D}(f)$  -- это внешность круга радиуса 2 с центром в начале координат; $ \mathcal{D}(f)$ является открытым множеством на плоскости.     

        Пример 7.25   Найдём частные производные функции $ f(x;y)=\frac{\textstyle{x^2+3y^2}}{\textstyle{xy}}$ по переменным $ x$ и $ y$ .

Для нахождения производных $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}$ и $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}$ удобнее записать функцию в виде

$\displaystyle f(x;y)=\frac{x^2+3y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=xy^{-1}+yx^{-1}.$

Тогда при вычислении производной по $ x$ нужно считать $ y$ постоянным:

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}=1\cdot y^{-1}+y\cdot(-1)x^{-2}=\frac{1}{y}-\frac{y}{x^2},$

поскольку (при фиксированном $ y$ ) множители $ y^{-1}$ и $ y$ служат постоянными и выносятся за знак производной, а производные (по $ x$ ) от $ x$ и $ x^{-1}$ равны, соответственно, 1 и $ (-1)x^{-2}$ .

Производную по $ y$ находим аналогично, считая $ x$ постоянным:

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}=x\cdot(-1)y^{-2}+1\cdot x^{-1}=-\frac{x}{y^2}+\frac{1}{x}.$

Итак,

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}=\frac{1}{y}-\frac{y}...
...},\ %
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}=-\frac{x}{y^2}+\frac{1}{x}.$

    

        Пример 7.26   Найдём дифференциал функции

$\displaystyle f(x;y)=3x^2y+x^3y^2.$

Дифференциал функции будем находить по формуле

$\displaystyle df=df(x,y;dx,dy)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy,$

Поскольку

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=6xy+3x^2y^2$ и $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=3x^2+2x^3y,$

получаем

$\displaystyle df=(6xy+3x^2y^2)dx+(3x^2+2x^3y)dy.$

    

        Пример 7.27   Найдём дифференциал функции

$\displaystyle f(x;y)=\sin(x^2y^3z^4).$

Дифференциал функции будем находить по формуле

$\displaystyle df=df(x,y,z;dx,dy,dz)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+
\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz.$

Поскольку

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\cos(x^2y^3z^4)\cdot(x^2y^3z^4)'_x=
\cos(x^2y^3z^4)\cdot2xy^3z^4,$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\cos(x^2y^3z^4)\cdot(x^2y^3z^4)'_y=
\cos(x^2y^3z^4)\cdot3x^2y^2z^4$

и

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\cos(x^2y^3z^4)\cdot(x^2y^3z^4)'_z=
\cos(x^2y^3z^4)\cdot4x^2y^3z^3,$

получаем

$\displaystyle df=\cos(x^2y^3z^4)\Bigl(2xy^3z^4dx+3x^2y^2z^4dy+4x^2y^3z^3dz\Bigr).$

    
        Пример 7.28   Найдём уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (гиперболическому параболоиду)

$\displaystyle z=\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$

в точке $ (4;4;z_0)$ .

Рис.7.27.



Вычислим частные производные функции

$\displaystyle f(x;y)=\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4};$

они равны

$\displaystyle f'_x(x;y)=\frac{x}{8};\ f'_y(x;y)=\frac{y}{2}.$

Их значения в точке $ M_0(4;4)$ равны

$\displaystyle f'_x(4;4)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2};\ f'_y(4;4)=\frac{4}{2}=2.$

Сама функция в точке $ M_0$ принимает значение

$\displaystyle z_0=f(4;4)=\frac{4^2}{16}-\frac{4^2}{4}=1+4=5.$

Тогда уравнение касательной плоскости к поверхности можно записать в виде

$\displaystyle \frac{1}{2}(x-4)+2(y-4)-(z-5)=0;$

раскрывая скобки и умножая на 2, приводим это уравнение к виду

$\displaystyle x+4y-2z-10=0.$

Уравнения нормальной прямой можно записать в каноническом виде:

$\displaystyle \frac{x-4}{\frac{1}{2}}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{-1}.$

    

        Пример 7.29   Найдём производные по $ x$ и $ y$ функции $ z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки $ (2;-1;2)$ уравнением

$\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$

Найдём частные производные функции $ f(x;y;z)=x^2y+y^4z^2+xz^3-16:$

$\displaystyle f'_x=2xy+z^3;\ f'_y=x^2+4y^3z^2;\ f'_z=2y^4z+3xz^2.$

Заметим, что $ f'_z(2;-1;2)=28\ne0$ , так что рассматриваемое уравнение действительно задаёт некоторую функцию $ z={\varphi}(x;y)$ . Поскольку

$\displaystyle f'_x(2;-1;2)=4;\ f'_y(2;-1;2)=-12;\ f'_z(2;-1;2)=28,$

то

$\displaystyle {\varphi}'_x(2;-1)=-\frac{f'_x(2;-1;2)}{f'_z(2;-1;2)}=-\frac{4}{2...
...arphi}'_y(2;-1)=-\frac{f'_y(2;-1;2)}{f'_z(2;-1;2)}=-\frac{-12}{28}=\frac{3}{7}.$