‹-- Назад

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Формулу

$\displaystyle f(x)-f(x^0)=df(x^0;dx)+{\alpha}(x^0;dx),$

задающую определение дифференциала, можно записать в виде приближённого равенства

$\displaystyle f(x)-f(x^0)\approx df(x^0;dx),$

если считать (при малых $ \vert dx\vert$ ) значение бесконечно малой величины $ {\alpha}(x^0;dx)$ много меньшим, чем $ \vert dx\vert$ . Перенося $ f(x^0)$ в правую часть, получаем:

$\displaystyle f(x)\approx f(x^0)+df(x^0;dx),$

где $ x=x^0+dx$ . С учётом выражения дифференциала через частные производные, находим, что

$\displaystyle f(x^0+dx)\approx f(x^0)+\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)dx_1+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)dx_n.$

Эту формулу можно применять для приближённого вычисления значений функции $ f$ в точках $ x=x^0+dx$ , если известны значения $ f$ и её частных производных $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}$ в точке $ x^0$ .

        Пример 7.23   Пусть требуется приближённо вычислить значение

$\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$

Рассмотрим функцию

$\displaystyle f(x;y;z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

и будем трактовать числа $ 0{,}98=1+(-0{,}02);\ 2{,}03=2+0{,}03;\ 1{,}96=2+(-0{,}04)$ как малые отклонения на $ {dx=-0{,}02}$ , $ {dy=0{,}03}$ , $ {dz=-0{,}04}$ от "круглых" значений $ {x_0=1,\ y_0=2,\ z_0=2}$ .

Поскольку

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}};
\fra...
...qrt{x^2+y^2+z^2}};
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},$

то дифференциал функции равен

$\displaystyle df=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dx+
\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}d...
...ac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dz=
\frac{x\;dx+y\;dy+z\;dz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dz.
$

Значение функции в точке $ (x_0;y_0;z_0)=(1;2;2)$ равно $ f(1;2;2)=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3;$ значения частных производных равны

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1;2;2)=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}...
... \frac{\partial f}{\partial y}(1;2;2)=\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{2}{3};$    
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(1;2;2)=\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{2}{3}.$    

Поэтому

$\displaystyle df=\frac{1}{3}\cdot(-0{,}02+\frac{2}{3}\cdot0{,}03+\frac{2}{3}\cdot(-0{,}04)=
-\frac{0{,}04}{3}\approx-0{,}0133$

и

$\displaystyle f(1{,}98;2{,}03;1{,}96)=\sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}\approx
3+(-0{,}0133)=2{,}9867.$