‹-- Назад
Касательная плоскость к графику функции
Пусть дана функция двух переменных





Рассмотрим график данной функции: и его сечения вертикальными плоскостями
и
. Как отмечалось выше, прямые, касательные к сечениям графика в этих плоскостях, наклонены, соответственно, к осям
и
под углами
и
, такими, что
и
.
Рис.7.22.
Проведём плоскость через эти две взаимно перпендикулярные касательные. Эта плоскость будет касательной к поверхности графика

Запишем уравнение
где









Уравнение (7.13) можно записать также в виде

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной плоскости к поверхности
, называется нормалью к этой поверхности, проведённой в точке
, или нормальной прямой.
Поскольку вектор






Пример 7.22 Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
проходящих через точку
. (Заметим, что эта поверхность -- график функции
-- эллиптический параболоид.)
Частные производные от
, вычисленные в точке
, равны
Подставляя координаты точки касания и значения производных в уравнения касательной плоскости и нормали, получаем
то есть
(касательная плоскость)
и
(нормаль)



Рис.7.23.
Частные производные от








Заметим, что касательная плоскость pасположена гоpизонтально, то есть задаётся уpавнением , если значения частных пpоизводных в точке
pавняются 0:


