‹-- Назад

Касательная плоскость к графику функции

Пусть дана функция двух переменных $ f(x;y)$ , заданная в некоторой области $ {\Omega}$ , и точка $ M_0(x_0;y_0)\in{\Omega}$ такова, что существуют частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}$ и $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}$ , непрерывные в точке $ M_0(x_0;y_0)$ .

Рассмотрим график данной функции: $ z=f(x;y)$ и его сечения вертикальными плоскостями $ y=y_0$ и $ x=x_0$ . Как отмечалось выше, прямые, касательные к сечениям графика в этих плоскостях, наклонены, соответственно, к осям $ Ox$ и $ Oy$ под углами $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ , такими, что $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\frac{\textstyle{f}}{\textstyle{x}}(M_0)$ и $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}=\frac{\textstyle{f}}{\textstyle{y}}(M_0)$ .

Рис.7.22.



Проведём плоскость через эти две взаимно перпендикулярные касательные. Эта плоскость будет касательной к поверхности графика $ z=f(x;y)$ . Найдём её уравнение.

Запишем уравнение

$\displaystyle z-z_0=\frac{\partial f}{\partial x}(M_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(M_0)(y-y_0),$ (7.13)

где $ z_0=f(x_0;y_0)$ , и покажем, что плоскость (7.13) в пространстве $ \mathbb{R}^3_{x,y,z}$ , где расположен график, обладает нужными свойствами. Действительно, эта плоскость проходит через точку касания $ (x_0;y_0;z_0)$ , что проверяется подстановкой координат этой точки в уравнение плоскости (7.13). При $ x=x_0$ , то есть в сечении плоскости (7.13) вертикальной плоскостью $ x=x_0$ , получаем

$\displaystyle z=z_0+\frac{\partial f}{\partial y}(M_0)(y-y_0),$

откуда тангенс угла наклона прямой, лежащей в пересечении плоскостей, с осью $ Oy$ равен

$\displaystyle z'_y=\frac{\partial f}{\partial y}(M_0).$

Значит, плоскость (7.13) пересекается с вертикальной плоскостью в точности по касательной к сечению графика. Аналогично, плоскость $ y=y_0$ пересекается с плоскостью (7.13) в точности по касательной этого вертикального сечения.

Уравнение (7.13) можно записать также в виде

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(M_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(M_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0.$

Прямая, проходящая через точку касания $ (x_0;y_0;z_0)$ перпендикулярно касательной плоскости к поверхности $ z=f(x;y)$ , называется нормалью к этой поверхности, проведённой в точке $ (x_0;y_0;z_0)$ , или нормальной прямой.

Поскольку вектор

$\displaystyle \ov m=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(M_0);\frac{\partial f}{\partial y}(M_0);-1\Bigr),$

очевидно, перпендикулярен к касательной плоскости (поскольку его координаты равны коэффициентам при $ x,\ y$ и $ z$ в уравнении касательной плоскости) и, следовательно, параллелен нормали, проведённой через точку касания, то уравнения нормали мы получим как канонические уравнения прямой, проходящей через заданную точку $ (x_0;y_0;z_0)$ параллельно известному вектору $ \ov m$ :

$\displaystyle \frac{x-x_0}{\frac{\partial f}{\partial x}(M_0)}=\frac{y-y_0}{\frac{\partial f}{\partial y}(M_0)}=\frac{z-z_0}{-1}.$

        Пример 7.22   Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

$\displaystyle z=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9},$

проходящих через точку $ (2;3;2)$ . (Заметим, что эта поверхность -- график функции $ f(x;y)=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9},$  -- эллиптический параболоид.)

Рис.7.23.



Частные производные от $ f$ , вычисленные в точке $ M_0(2;3)$ , равны

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(2;3)=\frac{x}{2}\Bigr\vert _{x=2}=1... ...d \frac{\partial f}{\partial y}(2;3)=\frac{2y}{9}\Bigr\vert _{y=3}=\frac{2}{3}.$

Подставляя координаты точки касания и значения производных в уравнения касательной плоскости и нормали, получаем

$\displaystyle 1\cdot(x-2)+\frac{2}{3}(y-3)-(z-2)=0,$

то есть

$\displaystyle x+\frac{2}{3}y-z-2=0$ (касательная плоскость)$\displaystyle ,$

и

$\displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{\frac{2}{3}}=\frac{z-2}{-1}$ (нормаль)$\displaystyle .$

    

Заметим, что касательная плоскость pасположена гоpизонтально, то есть задаётся уpавнением $ z=z_0$ , если значения частных пpоизводных в точке $ (x_0;y_0)$ pавняются 0:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x_0;y_0)=0;\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0;y_0)=0.$

Такие точки $ (x_0;y_0)$ называются стационаpными точками функции $ f(x;y)$ .