‹-- Назад

Производные неявно заданной функции

Пусть дана дифференцируемая функция $ f(x_1;\dots;x_{n-1};x_n)$ , для которой в некоторой точке $ x^0=(x_1^0;\dots;x_{n-1}^0;x_n^0)$ выполнено неравенство

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\ne0.$

Тогда в некоторой окрестности точки $ x^0$ уравнение

$\displaystyle f(x_1;\dots;x_{n-1};x_n)=0$

определяет, как мы знаем из теоремы о неявной функции, некоторую функцию $ {x_n={\varphi}(x_1;\dots;x_{n-1})}$ , заданную вблизи точки $ x^*=(x_1^0;\dots;x_{n-1}^0)$ в $ \mathbb{R}^{n-1}$ .

Пусть требуется найти её частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial{\varphi}}{\partial x_i}}(x^*)$ , $ i=1;\dots;n-1$ . Это можно сделать, применив формулу производной сложной функции к функции

$\displaystyle F(x_1;\dots;x_{n-1})=f(x_1;\dots;x_{n-1};{\varphi}(x_1;\dots;x_{n-1})),$

которая тождественно равна 0 в окрестности точки $ x^*$ ; следовательно, и все её частные производные в точке $ x^*$ обращаются в 0. Итак, считая параметром, от которого зависят все аргументы функции $ F$ , переменную $ t=x_i$ , где $ i=1,\dots,n-1$ , получаем по формуле $ F'_t=f'_{x_1}\cdot(x_1)_t'+\ldots+f'_{x_{n-1}}\cdot(x_{n-1})'_t$ :

$\displaystyle 0=f'_{x_i}\cdot1+f'_{x_n}\cdot(x_n)'_{x_i}$

(производные $ (x_j)'_{x_i}$ равны 0 при $ j\ne i$ , $ j\ne n$ ), то есть

$\displaystyle f'_{x_i}(x^0)+f'_{x_n}(x^0)\cdot{\varphi}'_{x_i}(x^*)=0,$

откуда

$\displaystyle {\varphi}'_{x_i}(x^*)=-\frac{f'_{x_i}(x^0)}{f'_{x_n}(x^0)},$

или


Эта важная формула позволяет вычислять производные неявно заданной функции $ {\varphi}$ , не имея задающего её явного выражения.

        Пример 7.20   Пусть функция $ z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением

$\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$

в окрестности точки $ (1;2;1)$ (проверьте, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению). Найдём производные $ {\varphi}'_x(1;2)$ и $ {\varphi}'_y(1;2)$ . Поскольку для функции

$\displaystyle f(x;y;z)=x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2$

частные производные равны

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3x^2yz+y^2z^3-4xy^2z^4;
\frac{\par...
...}=x^3z+2xyz^3-4x^2yz^4;
\frac{\partial f}{\partial z}=x^3y+3xy^2z^2-8x^2y^2z^3$

$ \frac{\partial f}{\partial z}(1;2;1)=x^3y+3xy^2z^2-8x^2y^2z^3\Bigr\vert _{x=1,y=2,z=1}=-18\ne0,$ так что данное уравнение действительно определяет неявную функцию), то по формуле (7.9) получаем:

$\displaystyle \frac{\partial{\varphi}}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial f}{\pa...
...rtial f}{\partial z}}=
-\frac{x^3z+2xyz^3-4x^2yz^4}{x^3y+3xy^2z^2-8x^2y^2z^3}.$

Подставляя координаты точки (1;2;1), находим:

$\displaystyle \frac{\partial{\varphi}}{\partial x}(1;2)=
-\frac{6+4-16}{2+12-3...
...frac{\partial{\varphi}}{\partial y}(1;2)=
-\frac{1+4-8}{2+12-32}=-\frac{1}{6}.$