‹-- Назад

Теорема о неявной функции

        Теорема 7.13   Пусть $ {\Omega}$  -- открытое множество в пространстве $ {\mathbb{R}^{m+n}=\mathbb{R}^m_x\times\mathbb{R}^n_y}$ (то есть точки области $ {\Omega}$ обозначаются $ {(x;y)}$ , где $ {x=(x_1;\dots;x_m)\in\mathbb{R}^m}$ и $ {y=(y_1;\dots;y_n)\in\mathbb{R}^n}$ ). Пусть $ {(x^0;y^0)\in{\Omega}}$ и в $ {\Omega}$ заданы $ n$ функций $ {g_i(x;y)}$ ( $ {i=1,\dots,n}$ ), таких что $ {g_i(x^0;y^0)=0}$ , причём все функции $ g_i$ и все их частные производные $ {\displaystyle{\frac{\partial g_i}{\partial x_j}}(x;y)}$ и $ {\displaystyle{\frac{\partial g_i}{\partial y_k}}(x;y)}$ ( $ {j=1,\dots,m}$ ; $ {j=1,\dots,n}$ ) непрерывны в $ {\Omega}$ .

Рассмотрим квадратную матрицу из частных производных функций $ g_i$ по переменным $ y_k$ , вычисленным в точке $ (x^0;y^0)$ :

$\displaystyle J(x^0;y^0)=\Bigl(\frac{\partial g_i}{\partial y_k}(x^0;y^0)\Bigr)_{i,k=1,\dots,n}$

и предположим, что эта матрица не вырождена:

$\displaystyle \det J(x^0;y^0)\ne0.$

Тогда в некотором шаре $ B^{x^0}_r\sbs\mathbb{R}^m_x$ (где $ r>0$ ) существуют и единственны функции $ f_i(x)$ , непрерывные и имеющие непрерывные частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f_i}{\partial x_j}}(x)$ в шаре $ B^{x^0}_r$ , такие что

$\displaystyle f_i(x^0)=y_i^0$

и

$\displaystyle g_i(x;f(x))=0$

при всех $ x\in B^{x^0}_r$ , $ i=1,\dots,n$ , где $ f(x)=(f_1(x);\dots;f_n(x))$ .     

Рассмотренная квадратная матрица $ J(x;y)$ , составленная из производных функций $ g_i$ по переменным $ y_k$ , называется матрицей Якоби вектор-функции $ g=(g_1;\dots;g_n)$ по переменным $ y=(y_1;\dots;y_n)$ и часто обозначается $ \displaystyle{\frac{\partial(g_1,\dots,g_n)}{\partial(y_1,\dots,y_n)}}$ или просто $ \displaystyle{\frac{\partial g}{\partial y}}$ . Её определитель $ \det J$ называется якобианом вектор-функции $ g$ по переменным $ y$ .

Утверждение теоремы означает, что векторное равенство $ g(x;y)=0$ задаёт, при выполнении предположения теоремы, некоторую вектор-функцию $ f(x)$ , такую что $ g(x;f(x))=0$ , то есть из условия $ g(x;y)=0$ можно выразить $ y$ через $ x$ , если якобиан от $ g$ по $ y$ не равен 0. При этом говорят, что уравнение $ g(x;y)=0$ неявно задаёт функцию $ f(x)$ .

Доказательство сформулированной теоремы, ввиду его значительного объёма, мы не приводим здесь. Читатель может найти его в учебнике
Никольский С. М. Курс математического анализа, т. 1. -- М.: Наука, 1991. -- С. 304 - 308.

Отметим, что эта теорема содержательна и нетривиальна уже при $ m=1$ и $ n=1$ . Тогда её можно сформулировать так:

        Теорема 7.14   Если функция $ g(x;y)$ двух переменных $ x,y\in\mathbb{R}$ определена и непрерывна в некоторой окрестности $ B_r$ точки $ (x^0;y^0)\in\mathbb{R}^2$ , причём $ g(x^0;y^0)=0$ и $ \displaystyle{\frac{\partial g}{\partial y}}(x^0;y^0)=\ne0$ , то существует такая функция $ y=f(x)$ , определённая хотя бы в малой окрестности $ E_{{\delta}}$ точки $ x^0$ , что $ g(x;f(x))=0$ при всех $ x\in E_{{\delta}}$ . При этом функция $ f$ имеет непрерывную производную при $ x\in E_{{\delta}}$ .     

Рис.7.15.



Отметим также, что важнейшим условием в теореме является требование невырожденности матрицы Якоби; в одномерном случае (то есть при $ m=n=1$ ) оно сводится к выполнению неравенства

$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}(x^0;y^0)\ne0.$

Если это условие нарушается в точке $ (x^0;y^0)$ , то заключение теоремы может оказаться неверным, как показывает следующий пример.

        Пример 7.18   Рассмотрим уравнение

$\displaystyle g(x;y)=x^2+y^2=0$

( $ x\in\mathbb{R},\ y\in\mathbb{R}$ ). Это уравнение не задаёт никакой функции $ y=f(x)$ , поскольку множество $ \{g(x;y)=0\}\sbs\mathbb{R}^2$ состоит из одной точки $ (0;0)$ и поэтому не может быть графиком функции $ y=f(x)$ на некотором интервале оси $ Ox$ , содержащем точку $ x=0$ : множество $ \{g(x;y)=0\}$ "слишком мало", чтобы быть графиком.

Однако условие теоремы о неявной функции для такой функции $ g(x;y)$ не выполнено:

$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}(0;0)=2y\Bigr\vert _{x=y=0}=0.$

    

Вот ещё один пример, в котором, напротив, множество $ \{g(x;y)=0\}$ "слишком велико", чтобы быть графиком:

        Пример 7.19   Равенство

$\displaystyle g(x;y)=x^2-y^2=0$

в окрестности точки $ (0;0)\in\mathbb{R}^2$ также не задаёт никакой функции $ y=f(x)$ . Действительно, в этом случае множество $ \{g(x;y)=0\}$  -- это объединение двух прямых $ y=x$ и $ y=-x$ .

Рис.7.16.



В окрестности начала координат это множество не является графиком никакой функции, поскольку каждому $ x\ne0$ соответствует не одно, а два значения $ y$ : $ y=x$ и $ y=-x$ . В этом примере снова, однако, не выполняется требование невырожденности якобиана:

$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}(0;0)=-2y\Bigr\vert _{x=y=0}=0.$