‹-- Назад

О "неберущихся" интегралах

При вычислении производной, наличие формул для производной суммы, разности, произведения, частного и композиции -- всех тех операций, при помощи которых элементарные функции образуются из минимального набора -- приводит к тому, что производная любой элементарной функции снова является элементарной функцией. При нахождении неопределённых интегралов, однако, формул для первообразной произведения, частного и композиции нет. Это приводит к такому положению, что отнюдь не для любой элементарной подынтегральной функции можно "взять интеграл", то есть выразить некоторую первообразную для подынтегральной функции в виде некоторого выражения, использующего лишь элементарные функции. Дело не в том, что пока что не придумано способа это сделать, а в принципиальной невозможности: никакая из первообразных в случае "неберущегося" интеграла никаким образом не может быть выражена как комбинация элементарных функций, связанных знаками арифметических действий и знаками композиции. Не следует думать, что если такое представление невозможно, то и функции такой нет1: можно считать, что для её выражения просто не хватает запаса рассматриваемых операций или запаса рассматриваемых исходных функций, и их надо расширить, то есть выйти за рамки множества функций, называемых элементарными2. В науке и её приложениях в технике, экономике и других дисциплинах применяются многие неэлементарные функции; часто их называют специальными. К специальным функциям относятся и многие первообразные для элементарных функций, причём часто не столь уж "сложной" структуры. Интегралы, выражающиеся через такие первообразные, называются (по традиции, берущей начало в 18 веке) неберущимися. Итак, интеграл $ \int f(x)\,dx=F(x)+C$ не берётся, если функция $ F(x)$ не является элементарной. Приведём примеры неберущихся интегралов и названия первообразных -- специальных функций, связанных с этими интегралами.

        Пример 1.8   Неберущимся является интеграл

$\displaystyle \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\Phi(x)+C.$

Здесь одна из первообразных, которую мы обозначили $ \sqrt{2\pi}\Phi(x)$ , выделяется из всего набора первообразных условием $ \Phi(0)=0$ . Функция $ \Phi(x)$ называется функцией Лапласа. Она широко применяется в теории вероятностей, физике, математической и прикладной статистике и других разделах науки и её приложений. Для вычисления значений функции Лапласа составлены таблицы, имеющиеся во многих учебниках, задачниках и справочниках по теории вероятностей и статистике. Возможность вычисления предусмотрена также на многих моделях калькуляторов (не самых дешёвых) и уж, обязательно, на тех, что предназначены для статистической обработки числового материала. Так что, с практической точки зрения, пользоваться функцией Лапласа ничуть не сложнее, чем, скажем, синусом, арктангенсом или натуральным логарифмом, которые мы условно относим к элементарным функциям.     

        Пример 1.9   Не берётся также интеграл

$\displaystyle \int\frac{\sin x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Si}}\nolimits (x)+C.$

Доопределим подынтегральную функцию $ f(x)=\frac{\sin x}{x}$ , полагая её равной 1 при $ x=0$ . В соответствии с тем, что $ \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ , доопределённая функция будет непрерывна на всей числовой оси. Среди её первообразных $ F(x)$ выделим ту, для которой $ F(0)=0$ . Эта неэлементарная функция называется интегральным синусом и обозначается $ \mathop{\mathrm{Si}}\nolimits (x)$ . Именно её мы использовали в приведённой выше формуле.     

        Пример 1.10   Ещё один неберущийся интеграл:

$\displaystyle \int\frac{\cos x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Ci}}\nolimits (x)+C.$

Одна из первообразных -- та, что мы использовали в правой части и обозначили $ \mathop{\mathrm{Ci}}\nolimits (x)$  -- называется интегральным косинусом.     

        Пример 1.11  

$\displaystyle \int\frac{e^x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)+C$ --

это тоже неберущийся интеграл. Одна из первообразных, которую мы обозначили $ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ , -- специальная функция, называющаяся интегральной экспонентой.     

        Пример 1.12   Не берётся интеграл

$\displaystyle \int\frac{dx}{\ln x}=\mathop{\mathrm{li}}\nolimits (x)+C$ (при $\displaystyle x>0);$

одна из первообразных, $ \mathop{\mathrm{li}}\nolimits (x)$ , называется интегральным логарифмом.     

Используя специальные функции, заданные предыдущими примерами, мы с помощью изученных выше правил интегрирования можем выражать через эти функции и другие интегралы. Приведём такой пример.

        Пример 1.13   Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл:

$\displaystyle \int e^{-x^2}dx.$

Для этого сделаем замену переменного $ z=\sqrt{2}\,x$ :

$\displaystyle \int e^{-x^2}dx=\left\vert\begin{array}{l}
 z=\sqrt{2}x\\ 
 x^2=\frac{z^2}{2}\\ 
 dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\,dz
 \end{array}\right\vert={}$    
$\displaystyle {}=\int e^{-\frac{z^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\,dz=\frac{1}{\sqrt{2...
...z^2}{2}}dz=\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{2}}\Phi(z)+C=
 \sqrt{\pi}\Phi(\sqrt{2}x)+C.$    

Заметим, что та первообразная для $ \int e^{-x^2}dx=F(x)+C$ , для которой $ F(0)=0$ , обозначается $ \frac{2}{\sqrt{\pi}}\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ . Функция $ \mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ называется в теории вероятностей и статистике функцией ошибок.     

        Упражнение 1.3   Выразите функцию ошибок $ \mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ через функцию Лапласа $ \Phi(x)$ и наоборот, функцию Лапласа через функцию ошибок.     

        Пример 1.14   К интегралу предыдущего примера можно свести и тем самым выразить через функцию Лапласа, например, такой интеграл:

$\displaystyle \int x^2e^{-x^2}dx=
 \int x\Bigl(e^{-x^2}x\,dx\Bigr)=
 \left\vert...
... dv=e^{-x^2}x\,dx\\ 
 du=dx\\ 
 v=-\frac{1}{2}e^{-x^2}
 \end{array}\right\vert=$    
$\displaystyle =-\frac{x}{2}e^{-x^2}+\frac{1}{2}\int e^{-x^2}dx=
 -\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{\pi}}{2}\Phi(\sqrt{2}x)+C.$    

Для вычисления мы применили формулу интегрирования по частям.     

        Пример 1.15   Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ . Заметим, что $ (\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x))'=\frac{\textstyle{e^x}}{\textstyle{x}}$ по определению первообразной. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

$\displaystyle \int\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)\,dx=
 \left\vert\begin{arra...
...imits (x)\\ 
 dv=dx\\ 
 du=\frac{e^x}{x}\,dx\\ 
 v=x
 \end{array}\right\vert={}$    
$\displaystyle {}=x\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)-\int x\cdot\frac{e^x}{x}\,d...
...thrm{Ei}}\nolimits (x)-\int e^x\,dx=
 x\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)-e^x+C.$    

    

Кроме приведённых выше, в приложениях встречаются и многие другие неберущиеся интегралы, например:

$\displaystyle \int\sin\frac{\pi x^2}{2}dx=\mathcal{S}(x)+C;\ %
\int\cos\frac{\...
...}(x)+C;\ %
\int\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx;\ %
\int\frac{\cos x}{\sqrt{x}}dx.
$

Эти четыре интеграла называются интегралами Френеля.

        Упражнение 1.4   Сделав соответствующую замену переменного, выразите последние два из интегралов Френеля через функции $ \mathcal{S}(x)$ и $ \mathcal{C}(x)$ , которые стоят в правых частях первых двух интегралов Френеля.     

Не берутся также интегралы

$\displaystyle \int e^{x^2}dx;\ %
\int\frac{x\;dx}{\sin x};\ \int\sqrt{x}\,e^x\,dx;\ \int\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}};
\ \int\sqrt[3]{x^2+1}\,dx$

и многие другие.

Тем не менее, для многих классов интегралов, наиболее часто встречающихся в приложениях, первообразную всё же удаётся выразить через элементарные функции. В следующей главе мы изучим такие классы интегралов.

        Упражнение 1.5   С помощью соответствующих замен переменного, докажите следующие соотношения:

$\displaystyle \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)=\mathop{\mathrm{li}}\nolimits (e^x)+C$    (при $\displaystyle x<0);\ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (\ln x)=\mathop{\mathrm{li}}\nolimits (x)+C$ (при $\displaystyle x<1)$

(на самом деле функции $ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits $ и $ \mathop{\mathrm{li}}\nolimits $ определяются так, что обе постоянные $ C$ равны 0).