‹-- Назад

Инвариантность дифференциала

Пусть, как в предыдущем параграфе, $ {y=h(u)=f(g(u))=(f\circ g)(u)}$  -- сложная функция, в которой $ x_i=g_i(u)$  -- промежуточные переменные. Найдём и сравним друг с другом дифференциалы функций $ y=f(x)$ и $ y=h(u)$ , то есть дифференциалы величины $ y$ , вычисленные:
а) в предположении, что независимыми переменными служат $ x_1,\ \dots,\ x_n$ ;
б) в предположении, что независимыми переменными служат $ u_1,\dots,u_m$ .

В случае а) дифференциал равен

$\displaystyle dy=
\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)dx_1+
\frac{\partial f}{\...
...l f}{\partial x_n}(x)dx_n=
\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)dx_i.$

В случае б) дифференциал, с учётом формулы для производной сложной функции, можно вычислить так:

$\displaystyle dy=
 \frac{\partial h}{\partial u_1}(u)du_1+
 \frac{\partial h}{\...
...tial h}{\partial u_n}(u)du_n=
 \sum_{j=1}^m\frac{\partial h}{\partial u_j}du_j=$    
$\displaystyle =\sum_{j=1}^m\Bigl(
 \frac{\partial f}{\partial x_1}(g(u))\frac{\...
... \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u))\frac{\partial g_i}{\partial u_j}(u)du_j=$    
$\displaystyle =\sum_{i=1}^n
 \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u))
 \Bigl(
 \su...
...
 dg_i(u;du)=
 \sum_{i=1}^n
 \frac{\partial f}{\partial x_i}(x(u))
 dx_i(u;du).$    

Полученное выражение совпадает по виду с тем, что получено для $ dy$ в п. а). Разница лишь в том, что вместо дифференциалов независимых переменных $ x_i$ теперь стоят дифференциалы функций $ x_i=g_i(u)$ . Это свойство называется инвариантностью дифференциала. Оно свидетельствует о том, что формулу

$\displaystyle dy=\sum_{i=1}^n
\frac{\partial y}{\partial x_i}(x)
dx_i$

можно применять, не заботясь о том, являются ли $ x_i$ независимыми или же промежуточными переменными.