‹-- Назад

Производная сложной функции

Пусть $ {\omega}$  -- область в $ \mathbb{R}^m$ , в которой заданы $ n$ функций $ g_i(u)$ , $ u\in{\omega}$ . Предположим, что все значения вектор-функции

$\displaystyle x=g(u)=(g_1(u);\dots;g_n(u))$

лежат в области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ , в которой задана функция $ f(x)$ . Тогда можно определить композицию (или сложную функцию) $ h=f\circ g$ :

$\displaystyle h(u)=f(g(u)),$

определённую при $ u\in{\omega}$ .

        Теорема 7.11   Пусть $ u^0$  -- внутренняя точка области $ {\omega}$ . Если в описанной ситуации функции $ g_i(u)$ имеют в точке $ u^0$ частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial g_i}{\partial u_j}}(u^0)$ по переменной $ u_j$ , а функция $ f$ имеет в точке $ x^0=g(u^0)$ частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x^0)$ по всем переменным $ x_i$ , то сложная функция $ h=f\circ g$ имеет в точке $ u^0$ частную производную по $ u_j$ , равную


В частности, если $ m=1$ и $ {\omega}$  -- интервал вещественной оси $ Ot$ и функции $ x_i=g_i(t)$ зависят от единственного переменного $ t$ , то


Для доказательства достаточно выписать приращения функций и перейти к пределу при $ {\Delta}u_j\to0$ . В случае затруднений в таком упражнении читатель может найти подробное доказательство (в случае $ n=3$ ) в учебнике
Никольский С. М. Курс математического анализа, т. 1. -- М.: Наука, 1991. -- С. 263 - 264.

Производная $ \frac{\textstyle{dy}}{\textstyle{dt}}=y'_t$ от функции $ y=h(t)=f(g(t))$ , вычисленная по формуле (7.8), называется полной производной от $ y$ по $ t$ , в отличие от частных производных от $ y$ по промежуточным переменным $ x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n$ .

        Пример 7.16   Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом:

$\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

Рассмотрим функцию

$\displaystyle y=f(x_1;x_2;x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2$

и найдём производные величины $ y$ по переменным $ u_1$ и $ u_2$ , то есть производные композиции $ f(x(u))$ .

Поскольку

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial y}{\partial x_1}}=2x_1;
\displaysty...
...al y}{\partial x_2}}=2x_2;
\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial x_3}}=2x_3$

и

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial x_1}{\partial u_1}}=2\sin u_1\cos u_...
...al u_1}}=\cos u_1\cos u_2;
 \displaystyle{\frac{\partial x_3}{\partial u_1}}=0;$    
$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial x_1}{\partial u_2}}=0;
 \displaystyl...
... \displaystyle{\frac{\partial x_3}{\partial u_2}}=-2\cos u_2\sin u_2=-\sin2u_2,$    

то по формуле (7.7) получаем:

$\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u_1}=
 \frac{\partial y}{\partial x_1}...
...artial u_1}+
 \frac{\partial y}{\partial x_3}\frac{\partial x_3}{\partial u_1}=$    
$\displaystyle =2\sin^2u_1\cdot2\sin u_1\cos u_1+2\sin u_1\cos u_2\cdot\cos u_1\cos u_2+
 2\cos^2u_2\cdot0=$    
$\displaystyle =2\sin^3u_1\cos u_1+2\sin u_1\cos u_1\cos^2u_2;$    

и

$\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u_2}=
 \frac{\partial y}{\partial x_1}...
...artial u_2}+
 \frac{\partial y}{\partial x_3}\frac{\partial x_3}{\partial u_2}=$    
$\displaystyle =2\sin^2u_1\cdot0+2\sin u_1\cos u_2\cdot(-\sin u_1\sin u_2)+
 2\cos^2u_2\cdot(-2\cos u_2\sin u_2)=$    
$\displaystyle =-2\sin^2u_1\sin u_2\cos u_2-2\cos^3u_2\sin u_2.$