‹-- Назад

Дифференцируемость функции и дифференциал

Пусть функция $ f(x)$ задана в некоторой области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ , и $ x^0$  -- внутренняя точка этой области. Пусть $ x$  -- произвольная точка этой же области $ {\Omega}$ . Разность $ {\Delta}x=x-x^0$ называется приращением аргумента $ x$ ; $ {\Delta}x=({\Delta}x_1;\dots;De x_n$ , где $ {\Delta}x_i=x_i-x^0_i$ . Разность значений функции $ {\Delta}f=f(x)-f(x^0)$ называется приращением, или полным приращением функции $ f$ в точке $ x^0$ , соответствующим приращению аргумента $ {\Delta}x$ ; $ {\Delta}f={\Delta}f(x^0;{\Delta}x)$  -- это функция от точки $ x^0$ и приращения $ {\Delta}x$ .

Предположим, что приращение функции можно представить в виде


где $ D_1(x^0),\dots,D_n(x^0)$  -- некоторые числа. Подчеркнём, что эти числа не зависят от $ {\Delta}x$ , но могут измениться, если сменить точку $ x^0$ . Относительно величины $ {\alpha}(x^0;{\Delta}x)$ мы предположим, что это функция, при базе $ {\Delta}x\to0$ являющаяся величиной большего порядка малости, чем $ \vert{\Delta}x\vert$ . Это означает, если вспомнить определение бесконечно малой величины большего порядка малости относительно другой бесконечно малой, что

$\displaystyle \lim_{\vert{\Delta}x\vert\to0}\frac{{\alpha}(x^0;{\Delta}x)}{\vert{\Delta}x\vert}=0.$

Заметим, что сумма всех слагаемых левой части (7.2), кроме последнего, -- это линейная функция от приращения аргумента $ {\Delta}x$ , если точка $ x^0$ фиксирована. Условие большей малости последнего слагаемого (7.2) относительно $ \vert{\Delta}x\vert$ означает, что эта линейная функция -- главная часть приращения функции.

        Определение 7.11   Если указанное представление (7.2) имеет место, то функцию $ f(x)$ называют дифференцируемой в точке $ x^0$ , а линейную относительно $ {\Delta}x$ функцию

$\displaystyle df(x^0;{\Delta}x)=D_1(x^0){\Delta}x_1+\ldots+D_n(x^0){\Delta}x_n,$

то есть главную линейную часть приращения функции, -- дифференциалом функции $ f$ в точке $ x^0$ .

Если функция $ f$ является дифференцируемой в любой точке открытой области $ {\Omega}$ , то функцию $ f$ называют дифференцируемой в области $ {\Omega}$ .     

Таким образом, приращение $ {\Delta}f$ дифференцируемой функции можно представить в виде суммы дифференциала $ df$ , то есть линейной части приращения, и остатка $ {\alpha}$ , который имеет более высокий порядок малости, чем приращение $ {\Delta}x$ :

$\displaystyle {\Delta}f=df+{\alpha}.$

        Теорема 7.8   Дифференцируемая в точке $ x^0$ функция является непрерывной в этой точке.

        Доказательство.     Действительно, если $ \vert{\Delta}x\vert\to0$ , то стремятся к 0 все слагаемые дифференциала: они имеют вид $ D_i(x^0){\Delta}x_i$ ; множитель $ D_i(x^0)$ не зависит от $ {\Delta}x$ , то есть постоянен, а $ {\Delta}x_i\to0$ , поскольку $ \vert{\Delta}x_i\vert\leqslant \vert{\Delta}x\vert.$ Величина $ {\alpha}$ также стремится к 0, так как имеет даже больший порядок малости, чем $ \vert{\Delta}x\vert$ . Значит, $ {\Delta}f=df+{\alpha}\to0$ . Но условие $ {\Delta}f=f(x^0+{\Delta}x)-f(x^0)\to0$ как раз и означает, что $ f(x^0+{\Delta}x)\to f(x^0)$ при $ {\delta}x\to0$ , то есть что функция $ f$ непрерывна в точке $ x^0$ .